Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，251埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章一类流行病房室模型的全局渐近稳定性Surya Lamichhane，Yuming Chen*Wilfrid Laurier University，Waterloo，Ontario N2L 3C5，Canada接收日期：2014年1月24日;修订日期：2014年3月28日;接受日期：2014年4月2日2014年5月9日在线发布摘要以北京市为例，提出了一个考虑募集效应的流行病分区模型。该模型具有阈值动力学。当基本再生数R0>1时，无病平衡点是不稳定的，并且存在唯一的地方病平衡点，全局吸引所有的解决方案，除了平凡的一个（无病均衡）。这些结果是通过应用拉萨尔的不变性原理建立的2010年数学学科分类：34 D23; 92 D30; 34 D20？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍病毒性感冒是由负义RNA或粘病毒家族相关病毒引起的最常见的呼吸道传染病之一[1]。这种病毒可以通过咳嗽、打喷嚏或从受感染的表面通过空气在人与人之间传播，也可以通过与受感染者的直接接触传播。它还能够从一个物种转移到另一个物种，并迅速改变其形式。这种高度传播的疾病每年在全世界造成约300万至500万例急性呼吸道感染和25万 即使在美国、欧洲、加拿大等发达国家*通讯作者。联系电话：+1（519）884 0710x2309。电子邮件地址：lamchhanesurya@hotmail.com（S.Lamichhane），ychen@wlu.ca（Y. 陈）。同行评审由埃及数学学会负责发病率和死亡率都很高。例如，在美国，超过200，000人因脊 髓灰质 炎并发 症住院 ，导 致平均 每年23 ，600 例（约）死亡[4]。任何人感染了H2N2后可能会出现发烧、喉咙痛、肌肉疼痛、头痛、咳嗽和疲劳的症状。个体潜伏病毒约1-3天后才具有传染性。感染期一般为3流行病模型对于研究传染病的传播动力学及其对人类未来的风险，寻求最优的预防和控制策略具有重要意义。这些资料为我们提供有用的资料，例如疾病的传播、病原体的扩散、流行病学趋势，以及疾病爆发的应变措施Arino等人[6]认为，作为1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.04.001制作和主办：Elsevier关键词在卢布尔雅那;基本再生产数;均衡;李雅普诺夫函数;全局渐近稳定性252S. Lamichhane，Y. 陈ð Þð Þ¼ ð Þ¼R40ð Þ¼ ðþÞ结果，他们提出了一个分区的SLIAR 流行病模型，在Zuenza是一个原型。该模型建立在一个假设基础上，即相当一部分感染者从未出现症状（称为无症状病例）。无症状感染者能够传播疾病，尽管他们没有任何疾病迹象。因此，根据感染后是否出现症状，将感染人群分为两类。他们计算了基本再生产数，得到了最终的大小关系。在他们的研究中，他们忽略了招聘这一重要因素。本文的目的是研究招聘的效果。结果表明，动力学与[6]中的动力学完全不同。本文件的其余部分安排如下。首先，我们在第2节中建立模型。然后，在第3节和第4节中，图1SLIAR模型的传输图，位于Zuenza。DS1/4K-ktS-lS;研究了无病平衡点的稳定性和dts地方性平衡。本文最后以dL简短的讨论。2. 模型配方总人口Nt分为五类：dt<$ksttS-kL-lL;dIdt<$kpL-r1I-βlβd1βI;dAdt<$k1-pL-r2A-ld2A：12：20ble（St），latent（Lt），pneumatically infectious（It），不难证明，（2.2）的可行域无症状感染（At）和恢复（Rt）。 是的4K线假设在感染和疾病发展之间有一个潜伏期，在感染者具有传染性之前。因此，在被感染后，易感个体首先转移到潜伏类，然后转移到感染类（I t或A t），最后进展到恢复类。为了建立一个具体的模型，我们做了以下假设。● 有一个恒定的招募率K进入易感类，自然死亡率为l。● 有症状的传染病的传播系数是B，而无症状个体的传染性降低因子D。具有传染性的概率是k，而有症状的传染性的概率是p。● 有症状和无症状C¼S;L;I;A是一个正不变的吸引集，吸引式（2.2）中所有具有非负初始条件的解。对于方程（2.2）的长期行为，我们只考虑C中的解。在接下来的两节中，我们研究了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性3. 无病平衡点的全局渐近稳定性很 容 易 看 出 ， （ 2.2 ） 有 一 个 唯 一 的 无 病 平 衡 点 E0S0;0;0;0，其中S0K=1。 我们首先用线性化方法研究了E0的局部稳定性。让R¼bS0kpbdS0k1-p：级别分别为r1和r2，有症状和无症状感染者的死亡率分别为d1和d2基于上述假设，我们可以在图1中画出传输图。这些假设导致模型DSdt<$K-kstS-lS;k注意，0被称为基本再生数，可以通过下一代矩阵方法[7]计算。定理3.1. 当R0> 1时，（2.2）的无病平衡点E0是局部指数稳定<的，而当R0> 1时E0是不稳定的.证据 （2.2）在E0处的雅可比矩阵为：DL1/4kstS-kL-lL;2-10-bS0-bdS03DTdIdt<$kpL-r1I-βlβd1βI;dAdt<$k1-pL-r2A-nld2A;博士dt¼r1Ir2A-1R;12：10日本语中文（简体）表示20-k lbS0bdS00kp-100r1ld100k1-p0-r2ld23其中kstbIdA.由于式（2.1）中的第五个方程与其他四个方程解耦，因此我们只关注式（2.1）中的前四个方程，即：A22¼64--kp- 100r1l 100d1 0k1- p0- r2l d2七点五分：●：75一类流行病房室模型的全局渐近稳定性25300.ΣRð ÞðÞðÞ¼¼RS2017年1月1日- lm 0-bdS0DTÇ非负的，我们得到I=0。 然后，0½dI不显示。DT101102¼DT显然，J<$E0<$的一个本征值是k11/4-l（为负），其他三个本征值是A 22的本征值。以来在这里，我们已经使用了K1/4S0的事实。有一个1的选择和一个2（我们为什么做出这样的选择应该很清楚），我们看到，detA22- klr1ld1r2ld2dV。 S-2bS0kp1/4kilogram1kilogram1kilogram2kilogram2kilogram0-1kilogram：如果R0. 因此，A2222>1，然后是determinA0dt¼-1S1-SΣ. bS0kp布雷尔1bdS0k1-p2 2019年12月 24日J<$E0<$具有正的本征值。因此，E0不稳定，如果R0>1。现在，假设R01<.在这种情况下，determinA22=<0，显然traceweightA22=<0。此外，第二添加剂S21/4-1S1-S--A22的复合矩阵[8]是它如下的dV60当R061。观察到023. A;L;I;A; S;L;I;A;L22普洛特f =S;L;I;A=S/S g.我们主张0A½2]¼640-75;在fS;L;I;A：S<$Sg中唯一完整的眼眶是疾病自由平衡事实上，如果你是这样的一个解决方案，-k1 -pkp-mn其中l<$k<$l;m<$r1<$l<$d1，n<$r2<$l<$d2。我听不懂-因此，dSt0低，[2019- 04- 22] 2019 - 04 - 01 00：00：0 0[ 2 0 1 9-0 4 - 22]2019-04：00 [2019 - 04 - 01] 2019 - 04：00 [2019 - 04 - 01]2019 - 04：00 [2019 - 04 - 01] 2019 - 04：00 [2019 - 04 - 01] 2019 - 04：00 [2019 -01] 2019 - 01：00：00220 ¼dt 1/4K--这意味着I tdA t0。因为我和我的朋友和t是Σ Σð Þþ×bS0kpdbS0k1-p<0-1ð Þ¼ð Þ ðÞlkpLt产生Lt¼ 0。这证明了这一说法。观察员-由于bS0kpdbS0<1。当地方病平衡点存在时，只有一个，记为Eω<$Sω;Lω;Iω;Aω<$，其中S0.S0Sω¼R;公司简介 1/2S0-bIdAS-1S] 1/ 2b IdAS-klL]0Lω<$lS0R0-1;并且因此--L0A22的值具有负实部，对于22254S. Lamichhane，Y. 陈0¼1/4-lS 1-S- bIdAS bId AS0bIdASIω¼BagelBagel1[001pdf1st-31files]k.S2kpR1-k lla1½kpL-r1ld1I]a2½klL-r2ld2A]：Aωk1-pr2ld2Lω：Lω;一类流行病房室模型的全局渐近稳定性255SΣΣ6Σ2-我是½113一222112我113一2211211S1L1L2我3一0SωLωIωVS;L;I;AS-Sω-SωlnSωLω-LωlnLωA2I-I-IlnIωdtdtina11-Ldt¼1 -S11LW y其中系数b，b，和是未知数。虽然给定参数值，我们可以得到局部稳定性通过线性化和Hurwitz准则，ω你好1IωkpL-rldI]一般地讨论其局部稳定性是困难在下面-然后，我们使用拉萨尔你好1-Aω½k1-pL-rldA]的全局渐近稳定性。在此之前，我们需要一个关于持久性的结果（2.2）。很容易看出，式（2.2）的解St;Lt;It;A t1/ 2K-bIdAS-lS]-KSωbIdASωlSωa½b其中L<$0I<$0A<$0>0最终（按分量）为L肯定的：第因此，对于地方病平衡点的全局稳定性，在Eω中，我们只需要考虑可行的内部a½kpL-区域C，◦[2019-03 - 22 00：00：00]a-k因为它也是（2.2）的正不变集。这是实现与代数方法李等人。[11]第11话构造一个合适的李雅普诺夫函数。首先我们需要永久-[1/2KlSωa1klLωa2r1ld1Iωa3r2ld2Aω]-IS-1-a-1-b-系统的本质。利用与[12]中类似的论证，可以很容易地证明系统（2.2）的一致持久性。½bdSω-a3-KSω-abLωSI-abdLωSA-akpIωL-ak1-pAωL：4.1号提案 如果R>1，则（2.2）是一致持久的，为简化符号，记为w<$S;x<$L;y<$I，也就是说，存在一个正的常数c>0，和zA。设C<$K<$lSω<$a<$k <$l <$Lω <$a <$r<$l<$d<$Iω<$minnlim infSt; lim infLt; lim infIt; lim infAto>c：Aω1a3r2ld2Aω。然后DV21 1t！1t！1t！1t！11/4C-1Sωw-1-abSωIωwy-1-abdSωAωwz由于C是有吸引力的，因此，dt1 1最大limsupSt;limsupEt;limsupIt;limsupAtK：-1/2a1kl-a2kp-a3k1-p]Lωx-1/2a2r1lt！1t！1t！1t！1-bdSω]Aωz-akpLωx-ak1-pLωx-K1这与命题4.1相结合，意味着（2.2）是每-如果R0>1，则为0因此，系统（2.2）具有紧凑的2y3z wWY WZ吸收集K<$C<$（参见，例如，[13]）。定理4.1. 若R0> 1，则唯一地方病平衡点Eω-a1bSωIωx-a1bdSωAωx：104：2如[11]，定义上述项的集合D，（2.2）在C ∞中是全局渐近稳定的。证据 我们只需要证明Eω是全局渐近的，D¼.w;x;y;z;wy;wz;1;xX;z;WYWZx;x：cally稳定的紧吸收集的C，它存在作为我们在上面已经讨论过了设K是这样一个紧吸收然后我们可以考虑算术平均值和几何平均值，通过以下三个集合来确定a1、a2和a3，集 定义一个李雅普诺夫函数V：K！R by.w;1mg;.1;wy;x= 0;和.1;wz;x;.S.勒夫W X yW X z.ωωI有用的.K½bIωdAωSlSω;你好A-Aω-AωlnAω;bIωdAωSωklLω;2014年4月3日3Aω其中a;a和a 是非负常数，kpLω¼r1ld1Iω;k1-pLωr2ld2Aω：12 3开采的。很明显，V是C1;V0，并且V是严格正的假设公式4.2的右边可以改写为：在K中的其他点。B.2-w-131wy x100给出了V沿式（2.2）的解的时间导数通过1周2次.1wz-w-x-yX轴DV.SωdS.LωdLDT3号线 3-w-x-z;.I ωdI.AωdA12 3然后将这两个项的相似项的系数表达式给了我们C：S>0;L>0;I>0;A>0g;而Sω、Lω、Iω和Aω之间的以下关系是256S. Lamichhane，Y. 陈21-31-E11-L1/4。[1-Sω½K-bIdAS-1S]2b1 3b2 3b3¼C;S.Lωb1 1/4lSω;1-a1¼ 0;我 DT一 DT[1/2bIdAS-klL]一类流行病房室模型的全局渐近稳定性257DTCRð Þ¼¼ð ð Þð Þ ð Þ ð ÞÞ ¼313ω3-w-x-zS; L; I; A2DTLωIωAω.ΣDTDT[1] J.K. Taubenberger，1918年西班牙人的起源和毒性a2r1ld1lbSω;a3r2ld2lbdSω;b1b2b3K;b21/4a2kpLω 1/4a1bSωIω;b<$abdSωAω<$ak<$1-p<$Lω;然而，这个模型有点简单。有几个因素需要考虑。例如，一方面，正如引言中所提到的，感染者具有传染性有一个潜伏期。因此，用时滞微分方程描述模型对另一方面，在卢布尔雅那，康复者可能容易受到kla2kpa3k1-p：与（4.3），上述线性系统是一致的，我们可以选择再因此，可以提出SLIARS模型。我们想检查阈值动态是否保持不变。我们把这些作为未来的研究。a¼1;bSω¼bSωIω¼;确认1 2bdSωa¼r1ld1bdSωAω¼kpLω：我们要感谢匿名裁判的支持-r2<$l<$d2 k<$1-p<$Lω通过算术平均-几何平均不等式，我们得到对改进本文的表述提出了建设性意见。研究得到加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的部分支持，dVω。1ωω。1wyx安大略省早期研究人员奖（ERA）计划dt¼lS2 -w-w.1S.I.WZ3 -w -x-yX轴引用请注意，S;L;I;A2K：dVfS;L;I;A2K：SSω;L<$I<$Ag. 我们声称宇宙中唯一完整的轨道在病毒中，Proc. Am. 哲学。Soc. 150（2006）86-112。[2] J.M. Tchuenche，N.放大图片作者：C.P. 鲍奇，.LωIωAωK：dV<$0是地方病平衡点Eω。In媒体报道对传播动态的影响人类在卢布尔雅那，BMC公共健康（2011），http：//事实上，让我们来看看这样一个解决方案。表示我不知道。然后www.biomedcentral.com/1471-2458/11/S1/S5>.[3]世界卫生组织：媒体中心，概况介绍编号0½dSω½t S ω½K-bltiωdAωSω-lSω;这意味着ltK-lSω1：b<$Iω<$dAω<$Sω因此，我们认为，S t;L t;I t;A tEω。 这证明了这一说法。利用LaSalle这就完成了证据 H5. 讨论在本文中，我们修改了Arino等人提出的房室模型。考虑到招聘。新模型具有与原始模型不同的动力学特性。对于原始模型，每个均衡都是无病均衡，并且有无限多个均衡。每一个解都趋向于一个平衡，在这个平衡中，最终的大小是确定的。国防部-模型具有阈值动力学。有一个基本的再生数R0。若R061，则只存在无病平衡点，且该平衡点是全局渐近稳定的.如果0>1，那么无病均衡是不稳定的唯一的地方病均衡吸引了除无病均衡以外的所有解。基本再生数用模型参数表示。因此，可以很容易地做出预测和预防策略。2009年4月，211日，在卢布尔雅那（季节性）[4] 卫生部，《纽约健康信息》，《流感情况说明书》，2012年9月。[5] A.E. Fiore，D.K.Shay，K.J.K.布罗德Iskander，T.M.宇也，G. Mootrey，J.S. Bresee，N.S.考克斯，预防和控制传染病：免疫实践咨询委员会（ACIP）的建议，2008年，MMWR建议和报告，2008年8月8日/57（RR 07），pp. 1-60.[6] J. Arino，F. Brauer，P. van den Driessche，J. Watmough，J.Wu，Simple models for containment of a pandemic，J. Roy.Soc. Interface 3（2006）453-457.[7] P. van den Driessche，J.Watmough，疾病传播房室模型的繁殖数和亚阈值地方病平衡，Math.Biosc。180（2002）29-48。[8] J.S. 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