可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记329（2016）27-38www.elsevier.com/locate/entcs量子绝热计算机中的多目标优化Benjam'ınBara'n1和MarcosVillagra2亚松森国立大学NIDTEC，Campus Universitario，San Lorenzo，C.P. 2619，Paraguay摘要在这项工作中，我们提出了我们认为是多目标组合优化的第一个量子算法，至少就我们所知。该算法基于Farhi等的绝热算法，通过将多目标组合优化问题映射为目标间的凸组合的Hamilton算子来构造。 我们提出的数学性质，给出了相关哈密顿量的本征谱，并证明了量子绝热算法可以找到Pareto最优解，只要目标的凸组合满足一定的条件，且多目标问题满足一定的关键词：多目标优化，量子绝热计算，组合优化1介绍优化问题在物流、通信网络、人工智能和许多其他领域的日常应用中无处不在。因此，对这些问题的有效算法有很高的要求许多应用于优化问题的算法和工程技术正在发展，以有效地利用优化问题中的计算资源。事实上，许多工程应用都是多目标优化问题，其中必须同时优化多个目标。有关多目标优化的调查，请参见示例[8，20]。在这项工作中，我们提出了我们认为是第一个使用量子绝热计算机进行多目标优化的算法。量子计算是基于量子力学原理设计高效算法的一种很有前途的范例研究人员通过展示量子计算机的优势，研究了量子计算机的计算能力。1电子邮件：bbaran@cba.com.py2电子邮件：mvillagra@pol.una.py，通讯作者。http://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2016.12.0031571-0661/© 2016作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。28B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）27在许多应用中优于传统计算机两个最著名的在Grovern[10]。Shor其他已知的经典算法在次指数时间内分解合数（经典算法是否可以在多项式时间内分解数是开放的）[18]。最初，在2000年之前，使用量子计算机构建优化问题并不容易这是因为大多数研究的量子计算机模型都是基于量子电路的，这给优化算法的设计带来了困难第一篇报告解决优化问题的论文是在Dürr和Hüryer的工作中[7]。他们发现了一个微小的时间复杂度为O（n）。最近，Baritompa，BulgerWood [3]在[7]的基础上提出了一个改进的算法;然而，后一个算法没有在有限时间内收敛的证明。[7]和[3]的算法是基于GroverFarhi等人[9]提出了一种新的量子算法和计算范式，对优化问题更友好，称为量子绝热计算。这种新的范例是基于量子退火的自然现象[6];因此类似于经典的退火，优化问题被映射到自然的优化现象上，并且因此通过仅仅让该现象发生来找到最优解。文[7]和[3]的算法很难推广到多目标优化问题，同时证明了有限时间内的收敛性。因此，量子绝热计算本身是实现以下两个目标的更合适的模型(i)提出了一种多目标优化的量子算法，并证明了该算法在有限时间内的收敛性。在这项工作中，作为我们的主要贡献，我们证明了Farhi等人的量子绝热算法。[9]可以用来在有限时间内找到Pareto最优解，只要满足某些限制。在定理4.1中，我们确定了任何多目标优化问题必须满足的两个结构性质，以便使用上述绝热算法。本文的提纲如下。在第2节中，我们简要介绍了多目标组合优化，并介绍了整个工作中使用的符号，特别是，多目标组合优化的几个新的属性也提出了独立的利益。在第三节中，我们解释了量子绝热定理，它是绝热算法的基础在第四节中，我们解释了绝热算法及其在组合多目标优化中的应用。在第5节中，我们简要地证明了定理4.1的主要结果。在第6节中，我们展示了如何在一个具体问题中使用绝热算法。最后，在第7节中，我们列出了一系列具有挑战性的开放问题。所有定理和引理的充分证明见[2]。B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）2729Dd2多目标组合优化在本节中，我们将介绍本文中使用的符号和多目标优化的主要概念。自然数（包括0）的集合表示为N，整数的集合表示为Z，实数的集合表示为R，正实数的集合表示为R+。对于任意i，j∈ N，其中i< j，我们令[i，j] Z表示离散区间{i，i+1，.，j− 1，j}.长度为n的二进制字的集合表示为{0， 1}n。2.1定义多目标组合优化问题（英语：Multiobjective combinatorial optimization problem，简称MCO）是一个涉及有限个可行解集上的多个目标的优化问题。这些目标通常在解决方案之间进行权衡，并且通常没有单一的最佳解决方案。在这项工作中，我们遵循了Kung，Luccio和Einstein的定义[12]。令S1，…，Sd是全序集，设≤i是集合Si上的序，i∈[1，d]Z.我们也让ni是Si的基数。用下面的方法定义卡积S1× · · · ×Sd上的自然偏序关系对于任何u=（u1，...，u d）和v=（v1，...，vd）中，记u∈v当且仅当对任意i ∈ [1，d] Z，u i≤ivi成立. 元素u∈S是极小元素如果不存在v∈S使得v∈u且v ∈ u。而且，我们说u是非--与v相当，如果u=v和v=u，并简洁地写为u=v。 在多目标优化的背景下，这里定义的关系式通常被称为帕累托序关系[12]。定义2.1多目标组合优化问题（或简称为MCO）被定义为元组n=（D，R，d，F，n），其中D是称为域的有限集合，R是值的集合，d是正整数，F是函数{fi}i∈[1，d]Z的有限集合，其中每个fi从D映射到R，n是R上的帕累托序关系（这里R是R上的d重卡累托积）。 定义一个函数f将D映射到Rd为f（x）=（f1（x），...，fd（x））称为目标向量。如果f（x）是Rd的极小元，我们说x是Rd的Pareto最优解。 对于任意两个元素x，y∈D，如果f（x）<$f（y），我们写x<$y;类似地，如果f（x）<$f（y），我们写x<$y。对于任何x，y∈D，如果x<$y和y<$x，我们说x和y是等价的，记为x<$y。所有Pareto最优解的集合记为P（n）。多目标优化问题的一个典型例子是双抛物线问题.在这个问题中，我们有两个目标函数，由两条相交于一点的抛物线定义，见图。1.一、在这项工作中，我们将只关注双抛物线问题的组合版本，其中每个目标函数只取有限个数字集的值考虑到帕累托最优解的集合可能非常大，我们主要关注的是找到帕累托最优解的子集。Kung，Luc- cio和Kung [12]给出了找到所有Pareto最优的最优查询算法30B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）27D图1.一、双抛物线问题第一个目标函数f1用粗线表示，第二个目标函数f2用虚线表示。 对于MCO，每个目标函数只取自然数的值。请注意，域中没有等效元素 在这个特定的例子中，7到15之间的所有解决方案都是帕累托最优的。的解以及对任意d≥4直到多对数因子的几乎紧的上界和下界。Papadimitriou和Yannakakis [15]表明，可以在多项式时间内找到所有Pareto最优解在本书的剩余部分，“0”将始终是帕累托序关系，并将从任何MCO的定义中省略。此外，为了方便起见，我们经常将d=（D，R，F）写为=（D，R，d，F）的简写。最后，我们假设每个函数fi∈ F在多项式时间内是可计算的，并且每个fi（x）由x的位数的多项式限制。2.2一些基本性质在本节中，我们将研究在我们的工作中需要的MCO的属性定义2.2一个MCOd=（D，S，F）是正规的，如果对于每个fi∈ F，有一个唯一x∈D，使得fi（x）=0且ifi（x）=0且fj（y）=0，其中ixi=y。j，则在正常的MCO中，每个fi中的最优解的值为0，并且所有最优解都是不同的。图1，解决方案7和15是最佳解决方案的f1和f2的值分别为0;因此，图2的双抛物线问题1是正常的定义2.3如果给定λ=（λ1，...，λ 2，...，λ 3），λ d），对于每个λ i∈ R+，对任意i∈ [1，d] Z和任意对x，y∈D，|f i（x）−f i（y）|>λ i.如果是无碰撞的，我们简洁地写为λ。图的双抛物线问题1不是无碰撞的;例如，对于解5和9，我们有f1（5）=f1（9）。在第6节中，我们展示了如何将双抛物线问题转化为无碰撞的MCO。定义2.4帕累托最优解x是平凡的，如果x是某个fi∈ F的最优解。图1，解决方案7和15是平凡的帕累托最优解决方案，而任何x在7到15之间是不平凡的。B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）2731∈。. 2001 d引理2.5对于任何正规MCO_d，如果x和y是MCO_d的平凡Pareto最优解，则x和y不等价。设Wd是[0， 1]d中的一组归一化向量，定义为Wd=Dw=（w，...， w） [0，1）d.i =1wi=1.（一）对任意的w∈Wd，定义f（x），w ∈ f（x），w∈ f（x），f（x）∈ f（x）=w1f1（x）+···+（wd）fd（x）.引理2.6给定d=（D，R，F），任意两个元素x，y∈D等价当且仅当对所有w ∈ Wd，成立f（x），w∈ =f（y），w∈。引理2.7设d=（D，S，F）是任意的MCO。对任意的w∈W d，存在x ∈D使得如果n∈f（x），w∈= min y∈D{n ∈f（y），w∈}，则x是n ∈ D的Pareto最优解.在这项工作中，我们将集中精力寻找非平凡的帕累托最优解。找到平凡元素可以通过让wi=1，对于某个i∈[1，d]Z，然后对fi运行优化算法来完成;因此，在等式中，（1）我们不允许任何wi为1。将多个目标映射到单目标优化问题的过程有时被称为MCO的线性化[8]。根据引理2.7，我们知道存在帕累托最优解，对任何w∈Wd都不是最优的。我们将非支持的帕累托最优解的集合定义为所有帕累托最优解x的集合N（x），使得对于任何线性化w∈Wd，我们还将支持的帕累托最优解的集合S（）定义为集合S（）=P（）\N（）[8]。注意，可能存在非支配帕累托最优解x和y，它们是不可比较的，并且对于某些w∈Wd，满足<$f（x），w<$=<$f（y），w<$。这相当于说从MCO的线性化获得的目标函数不是单射函数。定义2.8任意两个Pareto最优解x，y∈D是弱等价的，如果存在w∈W d使得<$f（x），w<$=<$f（y），w<$。根据引理2.6，任何两个等价的解x，y都是弱等价的;然而，另一种方式一般不成立。例如，考虑两个目标向量f（x）=（1， 2， 3）和f（y）=（1，3， 2）。显然，x和y不等价;然而，如果w=（1/ 3， 1/ 3， 1/ 3），我们可以看到x和y确实弱等价。图1，点10和12是弱等价的。3量子绝热计算从本节开始，我们假设量子计算的基础知识。为了对量子信息科学进行彻底的处理，我们建议读者参考尼尔森和庄的书[14]。.32B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）27Σiα i|的l2-范数|v定义为v =我|α i|二、对于任何矩阵Aδ2λ4λ3设H是一个具有有限基的Hil bert空间{|ui}i.对于任意向量|v=作用在H上，我们定义由l2-范数诱导的A的算子范数为：|我知道了。量子系统的哈密顿量给出了其时间演化的完整描述，这是由著名的薛定谔方程支配的Dik dt|（t）|（t）其中H是HamI牛顿，|是系统在t时刻t的状态，k是计划ck的常数，i=-1 为了简单起见，从现在开始我们将省略k和i是时间无关的，很容易看出，方程的解。（2）简单|（t）U（t）|其中U（t）= e-itH，使用|作为给定的初始条件，然而，当哈密顿量依赖于时间时，方程。（2）一般来说不容易解决，许多研究致力于它;然而，有一些已知的特殊情况。假设一个封闭的量子系统由含时哈密顿量H（t）描述如果|是H（t）的最小能量本征态，绝热时间演化使系统保持在其较低的能量本征态，只要哈密顿量的变化率“足够慢”。这一自然现象在Adiabatic定理中得到了形式化，首先由Born和Fock证明[4]。不同的证据，其中给予沿年，见例如[11，13，17，16，1]。在这篇文章中，我们利用了[1]中提出的定理的一个版本考虑含时哈密顿量H（s），0≤s≤ 1，其中s=t/T，使得T控制H的变化率，t∈[0，T]。定理3.1（绝热定理[4，11，1]）设H（s）是一个非退化的哈密顿量，令|γ（s）是其特征向量之一，γ（s）是相应的特征值. F或任意λ∈R+且s∈[0，1]，假设对任意其他特征值γ∈（s）成立，|γ（s）−γ（s）|>λ。考虑H在初始条件下给出的演化|φ是系统在T时的状态。|φ⟩ be the state of the system at T . 对任意δ∈ R+，如果T≥ 105。max {<$H′<$3，<$H′<$·<$H′<$}则<$φ − <$（1）<$<δ。4量子绝热算法绝热定理可以用来构造求解最优化问题的量子算法。 考虑一个函数f：{0，1}n→R+，其最优解x<$gi vef（x<$）=0。设H1是一个哈密尔顿算子，定义为H1=f（x）|xx|.（三）X注意t帽子H1|x≠0，因此，|x′n是一个特征向量。 因此，优化问题归结为找到具有最小本征值的本征态[9]。对于任意s∈[0，1]，令H（s）=（1−s）H0+sH1，其中H0是相应选择的初始哈密顿量。 如果我们将系统初始化在最低能量本征态|第（0）页B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）2733DΣΣΣD是非退化的，0，因为λ是正态的，我D绝热定理保证T至少为1/poly（λ），以获得接近于|（1），因此，我们期望的最优解。我们称H1和H0分别为最终和初始哈密顿量。利用绝热定理的唯一要求是H0和H1不能对易。在本节中，我们将展示如何构造MCO的初始和最终哈密顿算子。给定任何正常和无碰撞的MCO <$λ=（D，R，F），我们将不失一般性地假设D={ 0， 1}n，即D是长度为n的二进制字的集合。F或eachi∈[1，d]Z定义一个哈密顿量Hfi =<$x∈{0，1}nfi（x）|xx|.THE无碰撞对于任何w∈Wd，最终哈密顿量Hw定义为：Hw=w1Hf1+· · ·+wdHfd=x∈{0，1}n=x∈{0，1}n. w1f1（x）+···+w d f d（x）|xx|f（x），w|xx|.（四）在[9]的工作中，我们选择初始哈密顿为一个不诊断在计算基础上进行。 Let|00=（|0人以上|1分）/2分|2.1.1=（|0 ⟩−|1 ⟩)/2. 的状态|x∈{0，1}n的n重Walsh-阿达玛操作Fnon|x100。 集合{|x{\displaystyle x {\displaystyle x}}称为Hadamard基。因此，初始哈密顿量在阿达玛基上定义为：H0=x∈{0，1}nh（x）|xx|、（五）其中h（0n）= 0且h（x）≥1，对于所有xi= 0n。 很容易看出，本征值与相应本征态是非简并的|0 nn∈{0，1}n|x100。在定义了初始和最终的哈密尔顿算子之后，绝热定理保证了我们可以在有限时间内找到帕累托最优解定理4.1给定任意正常无碰撞的MCO λ，若不存在等价的Pareto最优解，则存在w ∈Wd，使得量子绝热算法能在有限时间内找到对应于w的Pareto最优解x。此外，如果每个w都被适当地选择，那么量子绝热算法可以找到所有支持的解。根据引理2.7，通过选择任意w∈Wd，可以找到所有支持的解。因此，为了证明定理4.1，我们在下面的部分中证明，总是存在一个适当的w，使得Hw在其最小特征值上非退化。5最终哈密顿量2每个Hf的最小特征值34B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）27在这一节中，我们简要地证明定理4.1。注意，如果初始哈密顿量与最终哈密顿量不对易，则可以证明最终哈密顿量B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）2735Σ∈DD22哈密顿量在其最小本征值处是非退化的[9]。在本文的其余部分，我们让σw和αw是Hw的最小和次小特征值。引理5.1对任意w∈W d，σ w≥iNw i λ i成立。特别地，对任意w∈（0，1）d，σ w≥<$w，λ<$成立.引理5.2对任意w ∈ W d，设H w是一个具有非退化最小特征值的哈密顿算子。H w的最小特征值和次小特征值之间的特征值间隙至少为λ，w λ。引理5.3如果不存在弱等价的帕累托最优解，则哈密尔顿算子Hw在其最小特征值上是非退化的。我们进一步表明，即使有弱等价的Pareto最优解，我们可以有一个非退化的哈密顿量。引理5.4设x1，...， x l是λ的Pareto最优解，它们不是两两等价的。 如果存在w ∈W d使得对某个σw∈R+，w ∈ W d，w ∈ f（x 1），w∈ =···=f（x l），w∈ =σ w，则存在wJ∈W d，i∈[1，l] Z使得对所有j∈[1，l]Z，withj=/i，它保持f（xi），wJ<<$f（xj），wJ<$。特别地，如果σw在所有y ∈ D中最小，则可以选择WJ使得<$f（xi），WJ<$f在所有y ∈ D中唯一且最小。引理5.5设λ是一个没有等效帕累托最优解的MCO，设Hw是简并哈密顿量，它具有最小本征值和相应最小本征态|x1mm， . 、|xl. 其中x是tswJ∈Wd且i∈[1，l]Z使得HWJ最小特征值与相应特征向量是非退化的|x i.从引理5.5，定理4.1紧接着出现。6绝热算法在双抛物线问题为了在双抛物线问题中使用第4节的绝热算法，我们需要考虑该问题的无碰撞版本设TPλ=（D，R，F）是一个正常的无碰撞MCO，其中λ=（λ1，λ2）∈ R+× R+，D={ 0， 1}n，R<$R+，F={f1，f2}.设x0和xj0分别为f1和f2我们用xi表示f1的第i个解，用xji表示f2的第i个解。此外，我们假设，|x0− xJ0|> 1.后一个假设将确保至少有一个非平凡的帕累托最优解。 注意如果|x0− xJ0|如果问题的解≤ 1，则该问题只有平凡解。为了使TPλ成为双抛物线问题，我们施加以下条件。(i) 对于每个x∈[0，x0]，函数f1和f2是递减的;(ii) 对于每个x∈[XJ0，2n− 1]，函数f1和f2是递增的;(iii) 对于每个x∈[x0+1，xJ0− 1]，函数f1是递增的，函数f2正在减少。36B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）27Σ2G2DSǁǁ2图二.六个量子比特上的离散双抛物线问题。每个目标函数f1和f2分别由四舍五入的点和平方点表示。间隙矢量λ =（0. 2，0。4）。平凡的帕累托最优点是20和40。最终和初始哈密顿量如等式中所示。（4）Eq.（5）分别。特别是在Eq。（5）我们将初始哈密顿量定义为：H0=x∈{0，1}n\{0n}|.|.（六）因此，对于TPλ，整个系统的哈密顿量为：H w（s）=（1 − s）H0+ sH w。（七）设Δmax =maxsdHw（s）2，gmin=minsg（s），其中g（s）是Hw（s）的特征值间隙. 可以证明T = O（Δmax）满足条件，min对应于W的解[19]。因此，在有限的时间内找到了解决方案量Δmax通常很容易估计。然而，本征值间隙gmin非常难以计算;事实上，对于任何Hamilton，如果gmin>0，则确定g min是不可判定的[5]。我们提出了一个具体的例子，在六个量子比特的双抛物线问题和估计的特征值差距。图2我们显示了如上所述的离散化实例，而表1显示了所有点的完整规范。对于这个特殊的例子，我们使用初始哈密顿量3H0，即方程。（6）乘以3。因此，3H0的最小本征值是0，而任何其他本征值是3。图3.给出了TPλ的本征值间隙对于w=0。第54章我们让w1=w和w2= 1−w1;对于这个特定的w值，哈密顿量HF，w存在唯一的最小本征态，对应于Pareto最优解32. 两个最小的本征值永远不会接触，并且恰好在s= 1处，间隙为|其中x0 = 32和x1 = 31是关于w的最小和次小解，这与引理5.1和5.2一致。|,where x0= 32 and x1= 31 are the smallest and second smallest solutions withrespect to w, which agrees with lemmas 5.1 and 5.2.B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）2737对于不同的w值和不同数量的量子位，也可以观察到类似的结果。因此，实验证据使我们猜想，在双抛物线问题中，g min≤| w，f（x）|其中x和y是关于w的最小和次小解。38B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）27|⟨⟩ − ⟨⟩|表1图中双抛物线例子的完整定义6个量子比特的2Xf1（x）f2（x）Xf1（x）f2（x）Xf1（x）f2（x）Xf1（x）f2（x）16.2736.13925.70934.21835.18532.37444.69630.60554.2428.90963.81527.28473.41925.72883.0524.23992.70622.815102.38521.454112.08520.154121.80418.913131.5417.729141.29116.6151.05515.524160.8314.499170.61413.523180.40512.594190.20111.7120010.869210.40110.069220.6059.308230.8148.584241.037.895251.2557.239261.4916.614271.746.018282.0045.449292.284.905302.5854.384312.9063.884323.253.403333.6192.939344.0152.49354.442.054364.8961.629375.3851.213385.9090.804396.470.4407.070417.7110.8428.3951.204439.1241.613449.92.0294510.7252.4544611.6012.894712.533.3394813.5143.8034914.5554.2845015.6554.7845116.8165.3055218.045.8495319.3296.4185420.6857.0145522.117.6395623.6068.2955725.1758.9845826.8199.7085928.5410.4696030.3411.2696132.22112.116234.18512.9946336.23413.9236438.3714.899图三.图2的双抛物线问题的特征值间隙（灰色）。2，w= 0。54. s = 1时的本征值间隙正好是w，f（x）w，f（y），其中x= 32和y= 31是关于w的最小和次小解。7结束语和未决问题在这项工作中，我们表明，量子绝热算法的Farhi等人。[9]第一章可用于多目标组合优化问题。 特别是，一个简单的线性化的目标函数表面，以保证收敛 到帕累托最优解提供了线性化的单目标问题，B. 巴兰湾Villagra/理论计算机科学电子笔记329（2016）2739唯一的最优解然而，即使目标的线性化没有给出唯一的最优解，那么总是可以选择适当的线性化。最后，我们列出了一些有前途的和具有挑战性的开放问题。(i) 为了实际应用定理4.1，我们需要选择w∈Wd，使得MCO线性化的最优解具有唯一解。然而，要知道为了使用绝热算法而选择哪一个w是非常困难的因此，需要更多的研究来学习如何选择这些线性化。一种方法可以是约束MCO的域，以最小化弱等价解的数量。(ii) 另一个相关的开放问题是如何解决多目标问题的等价解决方案的存在将具有等价解的MCO映射到哈密顿量的技术似乎非常困难;这是因为为了应用绝热定理，最小本征值必须是唯一的(iii) 根据定理4.1，我们只能找到所有支持的解。其他工作表明，不支持的解决方案的数量可以远远大于支持的解决方案的数量[8]。因此，构造一个量子算法，可以找到所有帕累托最优解的近似值是很有趣(iv) 证明了我们在第6节中的猜想，即方程的哈密顿量的本征值间隙。（7）对应于双抛物线问题，至多是对任意给定的线性化目标函数的最小解和次小解之间的差。引用[1] Ambainis，A.和O.张文，量子力学中的量子力学（2004），北京：清华大学出版社，2004.[2] 巴朗湾 和M. 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