非定常流的动态模态分解分量可视化与选择

视觉信息学5（2021）15非定常流的动态模态分解分量的可视化与选择T. Krakea，b，soul，S. Reinhardta，b，M.赫拉瓦茨湾Eberhardtb，D.韦斯科普夫a可视化研究中心（VISUS），Allmandring 19，70569 Stuttgart，GermanybHochschule der Medien，Nobelstraße 10，70569 Stuttgart，Germanyar t i cl e i nf o文章历史记录：2021年3月9日收到2021年6月17日收到修订版2021年6月22日接受2021年6月26日在线提供保留字：谱分解a b st ra ct动态模式分解（DMD）是一种数据驱动和无模型的分解技术。它适用于揭示时空特征的数值和实验获得的数据。从概念上讲，DMD将数据进行低维谱分解为以下分量：称为DMD模式的模式对分解的空间贡献进行编码，而DMD幅度指定其影响。每个相关联的本征值（称为DMD本征值）表征DMD模式的频率和增长速率。在本文中，我们演示了如何DMD的组件可以被用来获得时间和空间信息的时间依赖流场。我们首先介绍DMD的理论背景及其在非定常流中的接下来，我们从数学上研究DMD的传统工艺，它与离散傅立叶变换有关。我们的分析表明，目前使用的DMD组件有几个缺点。为了解决这些问题，我们调整组件，并提供新的和有意义的见解的分解：我们表明，我们改进的组件捕获的时空模式的流更好。此外，我们在分解中删除了冗余，并澄清了组件之间的相互作用，使用户能够了解组件的影响。这些新的表示，尊重DMD的时空特性，使两个聚类方法，分割成物理上相关的部分流，因此可以用于DMD组件的选择。通过一些典型的例子，我们证明了这些技术的结合，允许新的见解与DMD的非定常流。版权所有2021作者。由爱思唯尔公司出版我代表浙江大学和浙江大学出版社有限公司这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍动态模式分解（DMD）是一种数据驱动和无模型的技术，用于将复杂流分解为基本谱分量。这些组件对应于表征流的周期性、阻尼、（时间）分段和长时间行为基本上，该算法的结果是三个组成部分：DMD模式，振幅和本征值。而模式表示的空间贡献的流量和振幅指定其影响，每个相关的特征值的时间发展的特点。本文的目的是更好地了解这些组件，以便更有见地地*通讯作者。电子邮件地址：tim. visus.uni-stuttgart.de（T.Krake），stefan.visus.uni-stuttgart.de（S.Reinhardt），marcel. visus.uni-stuttgart.de（M.Hlawatsch），eberhardt@hdm-stuttgart.de（B.Eberhardt），丹尼尔。visus.uni-stuttgart.de（D。Weiskopf）。https://doi.org/10.1016/j.visinf.2021.06.003分析已经实现。此外，由于可视化社区还没有太多的关注DMD到目前为止，我们希望使DMD更容易为它的用户和可视化研究社区。DMD应该识别与频率和增长率相关的空间模式，这些模式决定了系统的行为。到目前为止，通过DMD的研究已经通过单个DMD组件的研究进行此外，组件的空间由于DMD是基于时空分量的相互作用，这种传统的分析过程是不够的。它有几个负面影响：第一，没有明确规定组件与整个系统的相关性。因此，不可能适当选择组分（用于分析过程）。其次，现有的DMD可视化可能会误导，因为没有考虑组件的相互依赖性。为了解决这些问题，我们专注于组件的表示和可视化。我们的方针是2468- 502 X/©2021作者。由爱思唯尔公司出版代表浙江大学和浙江大学出版社。这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表视觉信息学期刊主页：www.elsevier.com/locate/visinfT. Krake，S.Reinhardt，M.Hlawatsch等人视觉信息学5（2021）1516Fig. 1. 综述了我们提出的动态模态分解（DMD）方法用于非定常流的研究。对于数据分析过程，我们引入了改进的DMD组件和可视化，尊重DMD的时空特性，从而适当地描述了流。此外，两种新的聚类方法允许用户聚合流组件，将流分割成物理上相关的部分。因此，这一事实可以用于选择DMD组件。这些新技术的结合使DMD有了新的见解，正如由此产生的时间发展所表明的那样。但是可以扩展到一般的时间相关的基于网格的数据。图1说明了分析过程中遵循我们的方法。我们的贡献可概括如下：概念贡献：我们澄清了传统DMD组件的缺点，并提供了一个新的角度DMD的基础上与离散傅立叶变换（DFT）的比较。新的可视化：我们通过使用新的可视化，尊重DMD的时空特征，改善DMD组件和他们的表示。数据分析的贡献：我们引入了两种聚类方法来聚合组件，将流分割成物理相关的部分，因此可以用于DMD组件的选择。本文还讨论了DMD的数学基础，给出了DMD的一个推导公式和一个具体的公式此外，通过人工和模拟的例子，我们表明，我们的方法是能够识别非定常流场的特征。2. 相关工作非定常流动的可视化和分析是一个具有挑战性的研究课题。已经提出了各种分解技术来从流中提取不同种类的特征。一个特征的特性很大程度上取决于方法，并且通常很难定义。在非定常流的情况下，我们区分两种类型的分解技术。第一种类型直接对向量场进行操作，例如亥姆霍兹霍奇分解（HHD）（Bhatia et al. ，2013）或Morse分解（Chen et al. ，2007）。HHD将矢量场分解为两个空间分量，分别是无发散和无卷曲的。 最近的工作（Reich et al. ，2017）涉及基于傅立叶变换的HHD的扩展。Wiebel等人（2007）提出了一个类似的分解，将其分解为来自边界的势流和局部流来提取特征Rojo和Günther（2020）的分裂方法将流动分解为稳定和环境部分，从而能够描述拓扑元素和特征曲线的运动然而，这些分解技术不编码像DMD一样的时间模式Morse分解将向量场分成不相交的不变集，称为Morse集。这些莫尔斯集的连接是由一个有向图说明，给出了流场的拓扑骨架的概述。虽然这种方法只突出了分解的空间 关 系 ， 但 我 们 解 决 了 时 空 模 式 。 Bujack 等 人 的 最 新 报 告（Bujack et al. ，2020）在数学性质方面解释了该类型的几种分解技术的物理特征。我们遵循通过分解提取特征的然而，DMD依赖于不同类型的分解，因此提取其他类型的特征。第二种类型的分解利用时态通过对完整的时间序列进行分解，而不是单独考虑每个步骤，来提高除了DMD之外，主成分分析（PCA）（Lumley，1967;Berkooz et al. ，1993），也称为适当正交分解（POD），是这种类型的技术。PCA将数据分解为空间相关模式的正交基，称为主成分（或POD模式）。然而，相关的时间系数是很难解释的，因此，动态信息往往被忽视，特别强调的是空间分量。Pobitzer等人'的工作（Pobitzer et al. ，2011）涉及基于特征检测器的POD的扩展POD组件的可视化和特征检测器的额外使用不考虑分解的时空特性，这也是我们DMD方法的主要区别DMD由Schmid和Sesterhenn（2008）提出Schmid（2010）通过使用简化的奇异值分解（SVD）。Tu等（2014）制定了DMD的最新版本，称为精确DMD。如引言中所述，DMD的组件被单独使用，并且重要的时空关系没有被考虑在内，特别是对于可视化而言。以这种方式，DMD已被应用于不同的流动设置，例如，尾流分析（ Tu et al. ， 2014; Bagheri ， 2013; Zhang et al. ， 2014;Sampathand Chakravarthy ， 2014 ） ， 空 腔 流 （ Abu andHyung，2011; Lusseyran et al. ，2011）、混合层流（Sayadi etal. ， 2012 ，2013 ）和 射流（Rowley et al. ， 2009; Schmid etal. ，2011年）。在拉格朗日相干结构的背景下，考虑DMD和有限时间李雅普诺夫指数（FTLE）的相互作用，以提供对整个流动的基于特征的描述···T. Krake，S.Reinhardt，M.Hlawatsch等人视觉信息学5（2021）1517[][][客户端]=-==-λi∈⎢⎥⎢⎣⎥⎦J∈≫（）==≥∑<$Ax−x<$，（1）jj+1∈ × ×=∥· ∥Fi=1j=1注意Frobenius norm。 因此，最佳拟合矩阵为DMD组件和集成它们以获得新的DMD=1=1r0=∑X=场 （ Ali et al. ， 2017; Weheliye et al. ， 2018; Nair et al. ， 2016年）。Kou和Zhang（Kou和Zhang，2017）提出了一个选择主导模式的新标准。然而，这种方法使用传统的DMD组件，并且基于整个时间内的能量。关于可视化和计算机图形，DMD用于背景/前景视频分离（Grosek和Kutz，2014）、背景建模（Pendergrass et al. ，2017; Erichson et al. ，2019）、边缘检测（Bi et al. ，2017），以及大规模电力系统的可视化（Mohapatra and Over-bye，2016）。然而，所有上述出版物都使用传统的DMD组件。随着我们的新的可视化改进的组件，我们表明，我们的技术克服了传统的DMD方法的视觉流分析的缺点。算法1精确动态模式分解1：函数DMD（x0，. . . （x m）2：Xx0。. .x m−1，Yx1。. .X m3：计算简化的SVD XUVrank（X）r4：计算SUYV−15：计算λ1，. . . ，λr和v1，. . . ，vrof S6：对于λi=0do7：i=1YV−1vi8：结束9：Λ = diag（λ1，λ2，. . . ，λr0），其中λ1，λ2，，λr0 =010：012011：用a（a，. . . （a）12：计算是否存在c0= −∑r01∏13. 数学基础我们专注于时间依赖的流场定义在一个网格上，并在时间上均匀采样。更准确地说，对于在时间tk处具有N个点的网格上的2D速度场，数据为：13：返回λj，aj，j，c014：结束功能明确给出，j=1λjk=jλj−λk其特征在于u1（t k），v1（t k），. . . ，u N（t k），vN（t k）R，其中uv代表速度分量。对于DMD，x0，. . . ，x m∈ R2 N由下式给出：u1（t0）u1（t1）u1（tm）A=YX+∈Cn×n，（3）其中X+是注意，A是⎡|||⎤v1（t0） v1（t1） . . . v1（tm）.....大小为n×n的（大）矩阵。我们假设A是可对角化的⎢⎥(which is almost always the case, if n ≫[m). 这意味着]，0x0x1。 . .xm=。.. ..存在一个可逆矩阵V=一对二 。. .vn ∈|||uN（t0）uN（t1）uN（tm）vN（t0）vN（t1）. . .VN（t m）由特征向量组成的Cn×n，以及对角矩阵Λ=diag（λ1，λ2，. . .，λn）∈Cn×n，具有相应的特征值，使得V−1AV =Λ。 因此，我们可以近似kth三维流场的定义类似于三个而不是两个件.在制定DMD的算法之前，我们总结了DMD的概念（Kutz etal. ，2016; Krake et al. ，2019），并与DFT进行比较。这些方面有助于理解可视化技术及其原理。此外，由于DMD及其推导需要多个变量，因此在附录A中提供了一个概览表。3.1. DMD的推导DMD对任意数据执行谱分解。因此，我们通常考虑复值快照x0，x1，. . . ...快照的大小通常基本上大于快照的数量，即，嗯。对于快照，我们考虑以下最小化问题：m−1快照的nxk<$Akx0=V<$kV−1x0=bjλkvj，（ 4）j=1其中bB1B2. . .b nTV−1x0。注意，b的条目是特征向量基中x0的线性组合的系数。当量（4）表明，尽管矩阵A是线性的，但快照xk的所得公式不会在时间上线性地演变。这是DMD在处理非线性系统时的主要优势之一。另一个重要的性质是，如果n m（通常满足流数据），由于维数限制，A的秩不能高于m，因此，非零特征值的数量最多为m。因此，动态行为将由m个被加数捕获，包括三元组（bj，λj，vj）CCCn 对于j一，二，. .，m。DMD精确计算这些（非零）特征值和特征向量，minA∈Cn× n22j=0分别作为DMD本征值和DMD模式。为了简单起见，我们在本文的其余部分将它们表示为本征值和模式。 系数b1，. . . ，b m在分解中其中2表示欧几里得范数。换句话说，我们搜索在最小二乘意义上最优地连接后续快照的矩阵A。DMD的概念是计算A的低维表示，并对其执行本征值分解以检测数据中的频率模式。为此，我们将快照作为列向量插入以下两个矩阵：||||x0。. .x m−1、Y= x1 。. .X m.（二）||||等式（4）需要用DMD以不同的方式计算。我们称之为DMD振幅。然而，由于模式通常不形成基础，因此在第一快照x0的重建中将出现错误。3.2. DMD算法算法1示出了从非线性截面导出的DMD方法。然而，它与标准文献中的振幅计算不同。振幅的新定义它使用第二个快照而不是第一个快照，Eq中的优化问题。 （1）现在可以重写为重建，介绍了由Krake等人。 （2019年）。我们做出minA∈Cn×n<$AX−Y<$2 ，其中<$M<$F：=（∑n ∑m |MI J|）1/2通过改善⎥T. Krake，S.Reinhardt，M.Hlawatsch等人视觉信息学5（2021）1518J∈∈=∈=ˆ2πJ=-∑x=µx，（7）kj=ˆˆˆ2π=图二. DMD（左）与DFT（右）的比较。这两种方法导致结构相似的分解。然而，DMD通过最小二乘拟合矩阵的特征值计算其自身的复频率（取决于频率和增长率），而DFT使用由（复值）团结的根源。因此，DMD的分量可以随时间收敛或发散，这为研究数据创造了新的机会，因为简单的复频域突出显示。考虑DMD的时空性质的可视化。在算法1中，一个三元组（aj，λj，λj）类似于等式1中的三元组（四）在不显式计算A的情况下确定。 这是通过使用应用于数据矩阵X的简化SVD来实现的，这导致两个酉矩阵UCn×r 和VCm×r （其中对于实值数据为实值）以及具有r秩（X）的实值对角矩阵<$Rr×r（第2-3行）。A的低维表示由（第4行）给出S=UAU=UYV−1。（五）接下来，我们计算S的特征值λj和特征向量vj，其中j 1，. . .，r（第5行）。之后，我们将具有非零特征值的所有特征向量变换为模式j（第6-8行最后这导致了如图2右侧所示的实频域表示，其中被加数µkxj的幅度不随时间变化。相比之下，DMD计算三元组：特征值λj，模式λj和振幅aj。直接比较的组件是困难的，因为DMD组件的相互作用是更复杂的比DFT。尽管如此，我们可以使用方程使DMD和DFT一致（6）和（7）。在分解中，时间分量分别由λj和μj每组时间分量将分解完全表征为空间贡献，即，傅立叶变换矢量xj或缩放模式aj∈j以唯一的方式简单地拟合到那些。因此，分解仅在时间分量的选择上有所不同。实际上，由下式计算的特征值λj振幅a和误差缩放c 计算（第9DMD是可变的，而DFT使用单位μj的根。因此，我们认为，j0特征值λj=r j e i<$j 其特征在于，对于振幅的计算，可以使用有效的线性最小二乘求解器。通过这种振幅的选择，Krakeet al. （2019）证明了以下重构性质：fj≠j和幅度rj，或者换句话说，通过复频率。因此，DMD产生了如图1所示的数据的复频率表示。 2在左边。DMD程序可以概括为两个阶段x0=∑aj<$j+c0·q，xk=∑λkaj<$j，（6） 方法：首先，DMD计算适当的复频率j=1j=1基于数据。然后，将数据转换为复杂的对于k=1，. . .，m和q=x m−XX+x m。当x0，. . .， xm−1和x1，. . . ，xm是线性无关的，λ1，. . .，λm是不同的（这通常对于流量数据是满足的，并且在这种情况下，r0r m）。该断言指出，DMD继承了Eq.（4）适当的系数。此版本的DMD通过提供以下功能来捕获整个系统：将结构化频谱分解为时间和空间方面。因此，我们能够准确地阐明（聚合）组件的影响。此外，本征值、模态和振幅的相互作用可以用一种新的、更清楚的基于这些见解，我们创建了新的可视化，尊重DMD的时空特征。3.3. DMD和DFT离散傅里叶变换（DFT）是分析时间相关数据的一种众所周知的工具。它能够提取基于频率的特征，如周期性。由于DFT和DMD导致数据的结构相似的分解，因此可以将DFT的性质和过程转换为DMD。更准确地说，DFT产量M王空军j=02πj其中μjem+1 是单位根，x是傅立叶变换因此，DFT将1D快照xk转换为复数xj（将向量值数据xk转换为复向量xj），每个都取决于单位根μj。使用指数形式，即，μj=ei<$j，我们观察到分量μj具有幅值1. 因此，它们仅由实频率fj=fj确定。数字（用于将向量值数据转换为复向量）取决于这些复频率。从某种角度来看，DMD可以被看作是DFT的扩展。这为提取复杂的基于频率的特征（如周期性、阻尼和时间分割）开辟了新的可能性。图2，我们观察到DMD只需要三个（非零）复频率来重建信号，而DFT需要多个实频率。在更复杂的情况下，挑战在于找到相关的DMD组件。该任务比DFT的情况更复杂，因为需要考虑本征值λj、模式λj和振幅αj的相互作用，以便尊重DMD的时空特性从特征值λj（复频率）开始，这些特征值应用于突出模式随时间的影响。先前，应该根据DFT通过它们的幅度aj来调整模式aj，使得缩放的模式aj= aj（类似于傅里叶变换的向量）表征空间分布和影响。基于这些观察，我们提供了改进的组件和新的可视化澄清组件的相互作用。此外，基于DFT（谐波聚合）的原理，提出了一种聚类方法，选择相关DMD组件。4. 调查方法在本节中，我们首先通过突出传统DMD组件和可视化的优点和缺点来描述传统DMD方法。然后，我们将展示如何以一种新的方式改进和可视化这些组件，以解决这些问题。在此基础上，我们提出了两种聚类方法，分割成物理相关的部分流。最后，提出了一种DMD器件的选择方法。T. Krake，S.Reinhardt，M.Hlawatsch等人视觉信息学5（2021）1519==-=-| |2π·==-图三. 用流线和颜色编码的速度幅值可视化传统的2D模式相应的颜色图（调整2019年，在右边。4.1. 传统DMD组件在下文中，我们指出了传统DMD方法的优点和缺点。DMD计算以下三元组：模式λj、振幅aj和本征值λj。传统上，这三组组件主要被单独考虑和可视化。4.1.1. DMD模式这些模态代表了对流场的空间贡献，并应显示局部和全局特征，如对称性、混合、瞬态响应和长时间行为。向量值模式的每个条目对应于如图11所示的速度场的空间位置。3 .第三章。对于DMD的研究，传统上，模式被单独考虑。然而，由于DMD是基于叠加原理的，因此必须仔细选择所检测的模式。否则，无法确保空间特征的有效性。此外，模式是复值的，因此主要通过它们的实部和虚部来可视化一个值得注意的模式是具有相应特征值λj的模式1.如果它存在，它表示恒定流，通常称为时间平均流，不随时间变化。4.1.2. DMD振幅振幅aj决定了模态αj对流动的影响。如前所述，振幅传统上通过Θ+x0而不是Θ+x1来计算（比较A1-x1），使得如等式（1）中的重建可以被重建。（6）不坚持。这些复数然后通过它们的绝对值可视化，即， a j，在如图2所示的按其相应特征值的频率排序的条形图中。四是左边。可视化给出了模式影响分布的概述。在此基础上，进行相关模式的选择。更准确地说，选择第k个最主要的模式由振幅的k个最高绝对值构成。 这种方法不考虑时间模式，因为振幅仅精确地反映了时间t0时模式的影响。此外，传统的振幅和相应的模式不一定归一化的影响是不精确的。因此，一种误导性的模式选择可以做出不代表任何相关特征的流程，特别是那些随时间演变的流程。此外，图4中突出显示了冗余组件（稍后我们将证明），这可能导致不必要的模式选择和可视化。4.1.3. DMD特征值对应模式的特征值描述其时间行为。复平面内的位置提供关于频率和生长速率的信息。这些量分别由它们的辐角和大小给出。通常，本征值由其对应幅度的绝对值（灰度）缩放，如图11所示。4在右边对于实值数据，特征值以复共轭形式出现对，即， 如果λR ei是特征值，则λR e−i一个特征值。因此，传统的可视化在复杂的平面，如图所示。右侧的4，显示冗余信息。使用指数形式λ频率为f的频率和幅度r以及Eq. （6），特征值可以按以下方式分类：r j<1：这些分量描述瞬态响应，因为特征值的增强将导致分量消失。rj> 1：这样的分量表现出相反的行为：由于本征值的增强，分量将增长和发散。RJ1：在这种情况下，本征值的增强将导致单位圆以特定频率旋转。这些组分表征稳定状态。尽管这三种情况的分类是可能的，本征值增强的解释也更容易理解（见图10）。4），重复和显著模式的检测受到径向表示的影响。4.2. 改进的DMD组件在本小节中，我们对传统DMD组件和可视化进行了改进，解决了上一小节中解释··T. Krake，S.Reinhardt，M.Hlawatsch等人视觉信息学5（2021）1520| |=+= 0=见图4。2D von Karman涡街的振幅（左）和特征值（右）的传统可视化。幅值aj的绝对值在条形图中可视化，该条形图按其对应特征值的频率排序可视化既不考虑时间方面，也不考虑与特征值可视化的连接本征值在复平面中由其相应的振幅表示，其中浅灰色表示不重要的分量。对于实值数据（这是流数据的情况），特征值出现在复共轭对中。因此，冗余信息被可视化。此外，径向表示对于图案的识别具有若干缺点图五. 我们提出的2D von Karman涡街的特征值（底部）和支配结构（顶部）的可视化。非冗余特征值由它们的频率（自变量）和增长率（幅度）表示，并由其相关标度模式的范数进行灰度化，其中浅灰色表示不重要的分量。优势结构可视化的非冗余缩放模式的影响。为此，非冗余标度模式的范数在条形图中示出，该条形图按其相应特征值的频率。此外，蓝红色图显示了选定时间步长的每个缩放模式的时间发展。4.2.1. DMD特征值对于实值数据（如在许多应用中给出的），本征值出现在复共轭对中（比较图1）。4在左边）。这个众所周知的事实来自于实值SVD，其结果是实值矩阵S（参见等式2）。（5）或附录B）。因此，特征值的表示可以限制在上半平面（具有非负虚部的复数），这隐藏了冗余分量并导致更清晰的视图。此外，在复平面上的可视化也有一些缺点。由于特征值的径向表示，很难检测重复和显著模式。因此，我们提出了一个表征，更强调频率和增长率。为此，我们删除冗余的特征值，并在坐标系中绘制剩余的特征值，坐标系的轴由幅角和幅度定义，如图所示。5在底部这种表示方法大大提高了对重复模式的识别能力，为后面的聚类方法奠定了基础此外，本征值通过将在下文中呈现的所谓的缩放DMD模式简而言之，规范代表了组件的正确影响。4.2.2. 缩放DMD模式DFT可以与DMD联系起来，因为DMD可以被看作是一个两阶段的方法，其中首先计算本征值，然后将模式和振幅拟合到这些方法中。傅里叶变换矢量是模λj乘以其振幅aj的对应物（见3.3节）。因此，我们建议缩放模式进行分析，并将这些新对象表示为缩放DMD模式。由于这种组合，新表示包含空间贡献以及对系统的影响。之前我们讨论了这两个方面，给出了表示的一些有利的数学性质。缩放模式的一个重要特性是它们以复共轭对出现，即，特征值λ，λ的复共轭对的标度模由aλ， aλ给出。关于这一事实的详细的数学证明可以在附录B中找到. 因此，这两个标量模的叠加可以用实部的两倍来表示，因为aa2（a）。此外，时空发展由下式给出：λka+λka=2（λka），k∈N。（八）因此，我们可以结合这些复共轭对，这有利于分析方法。特别地，本征值λj和缩放模式ajj（其中本征值具有非零虚部）的数量减少了两倍。这一点对于所有后续步骤都至关重要(a) 空间属性：模式j乘以其（复）振幅aj校正其取向。为了证明这一点，图6（上图）描绘了特征值λ1的传统模式，通常称为时间平均流。我们观察到，当流动从左向右移动时，速度矢量指向错误的方向。由于该模式是实值模式，并且是唯一对边界区域有影响的模式，因此流动方向确实不正确，因此该模式不能正确显示物理现象（时间平均流）。这是因为模式是特征向量，可以通过任何复因子缩放。为了表示真实的物理性质，需要将模式j与其振幅aj相乘，从而将其与数据相关联。在图6（底部）中，还可视化了特征值λ1的缩放模式。对于比例模式，速度指向正确的方向，比例适合输入（见图1）。这个简单的例子表明，振幅和模式的组合是至关重要的空间特征的解释，并提高了基本（数值）表示。此外，对于缩放模式的可视化，我们使用等式（八）、在实值数据的分析中，缩放模式，特别是它们的时间发展，因此可以被限制到实部，因为虚部将在叠加中消失，如等式（1）所示。（8）表演。T. Krake，S.Reinhardt，M.Hlawatsch等人视觉信息学5（2021）1521=CC{}∑∥∥CCC−C ∈ {CCC}J=∥∥=见图6。 传统DMD模式（上）对本征值λ1与我们的缩放DMD模式（底部）进行比较。两者都取自2D冯卡门涡旋街道数据集。传统DMD模式的速度矢量指向错误的方向，因为流入在左侧。缩放DMD模式可解决此问题问题.(b) 影响属性：传统的振幅（通常用于模式的选择）遭受不精确的计算作为方程。（6）不完全成立。结果，模式的影响没有被正确地反映使用所提出的改进的表示，即，由算法计算的缩放模式ajj然而，DMD的时空特征需要被考虑。在数学上，组件的选择可以通过子集1，. . . ，r0的所有分量。在定义了子集之后，我们将其在步骤k处的时间发展表示为：1，影响由其范数给出。这个公式在k k中与傅立叶变换矢量的影响一致，并且更精确。尽管现在更有可能正确选择最主要的成分，但范数仅表示时间t0时的影响。仅根据规范选择组件缩放模式（或简单地对振幅的绝对值）是不够的，因为时间编码不包括在内（比较图1）。4在左边）。为了整合这一点，我们提出了一个视觉表示，称为优势结构，使用缩放模式和特征值。该表示在图5（顶部）中示出。基本上，标度DMD模式的范数在条形图中可视化，该条形图按其相应本征值的频率排序。但是，它也考虑到以下方面：由于标度模式出现在复共轭对中（如本征值），因此显示其中一个就足够了，因为它们具有完全相同的影响。由于根据频率（参数）进行排序，因此可以区分低频和高频的影响，这符合DFT的精神（见图1）。 2）和特征值可视化（见图。5）。因此，这两个可视化可以被链接，因为两者都依赖于相同的量。更确切地说，对于优势结构，以有序方式表示频率（即，序列数字）和特征值的定量方法（即，准确位置）。缩放模式ajj（根据范数）的时间发展被集成到表示中。这λCaCC：=我爱你。（九）i∈C如果使用传统的基于优势的方法来选择分量，则根据缩放模式的范数（或实际上根据幅度的绝对值）来选择分量。图7（左）示出了 随 时 间 的 重 构 误 差 （ 即 ，Xλka为 k 绘 制0，. . .，m），三个例子的sub bseCtsI，II，III. 非冗余属于这三个子集的特征值如图所示。 7、右（右）5）。子集III包含所有分量，并且是最大可实现的精度阶数（重建是精确的，因为等式（1）的条件满足：（6）满意）。其他两个子集I和II包含具有k个最高影响的分量，其中已经选择了不同的阈值。然而，这种选择组件的传统方法既没有澄清所选组件的相互作用，也没有对它们进行适当的分类。此外，由于叠加原理，不相干的选择可能导致相互消除的分量。总之，不一致地选择（缩放）的分量可能不描述流的任何可以基于改进的组件和可视化来执行用于选择组件的另一种方法。由于时间方面编码的优势结构的可视化，它可能提供了一个更好的工具，选择组件。一般来说，它可以通过以下方式进行（我们总是只选择非冗余第一，具有高影响力的组件，发展是由具体的值给出的确定时间步长k0被选中。这是通过选择k0时间步长k，其通过彩色编码条可视化。的相应的时间步长k由右侧的彩色图示出。为了可见性，颜色编码的条形图应始终置于前景（如果|λj| ≤ 1）或背景（如果|λj|> 1）。由于考虑了时间步长k0（此处以深蓝色突出显示），因此可视化是对图4中所示的传统可视化的扩展和改进。它允许新的见解缩放模式的影响，并支持相互作用的理解。4.3. 组件的聚合和选择DMD将时间依赖性流分解为空间和时间分量。为了适当地选择组件，其值λjaj <$j高于所选固定阈值的每个分量。如果k00，则该过程与传统过程相同.在第二步骤中，手动分类。使用新的优势结构，可以添加代表重要稳态部分的非选择组件。相反，可以排除消失得非常快的选定组件。传统的可视化（Fig. 4在左边），这是不可能的，即使特征值可视化（图。（右四）另请参阅。为了帮助这一过程，我们注意随着时间的推移重建误差（见图2）。7），使用选定的以及所有模式作为参考。这显示了所选组件的精度，并有助于证实组件的选择。基于我们的可视化所提出的方法是有用的第一印象或探索性分析。我们的经验···T. Krake，S.Reinhardt，M.Hlawatsch等人视觉信息学5（2021）1522∑=（）（）M件.=M见图7。 来自2D冯卡门涡街数据集的不同分量子集（I、II和III）随时间的重建误差（左）。 的特征值右侧显示了相应的群集。而子集III由所有分量组成，导致流的无误差重构，子集I和II被细化并用于导致模式选择的集群方法。不同的阈值有助于识别模式和支持组件的聚类（右侧的红色和蓝色已经表明，这种概览可视化对于简单的数据集是足够的。对于表现出几种不同的时间依赖性现象的复杂系统，所选成分的相互作用、解释和分类仍然可能不清楚。到目前为止，所选择的（缩放）模式分类的位置，其相应的本征值。这可能导致流的某些部分的组分相互消除。因此，选择部件的适当标准是准确地对代表流的某个部分的部件进行分类。在数学上，离散优化问题可以是公式：对于某一时间段k1，k1+ 1，. . . ，k2，我们寻找具有M个元素的子集CM，满足K2minxk−λkaC<$C<$2。（十）4.3.2. 调和聚类为了识别时间模式，DFT使用谐波，即，频率的倍数。我们适应这个概念和聚合组件，表现出模式的谐波。聚类方法再次使用一组适当稀疏的特征值，其组成部分充分重建流。然后，我们寻找倍数的特征值representation-灰，无论是手动或算法。选择取决于特征值的分布和复杂性。该过程在图中示出。7（二）。如果有一个以上的集群，特征值λ1不应该被包括在簇中，因为常数部分总是混合的并且不可分离。但动态行为通过这种方法分离，这是关键点。例如，聚类的重建误差随时间的变化Ck= k1C这种技术显然可以用于选择组件，因为每个计算的子集可以表征流的一部分和组件的特征。对于（几乎）周期性数据集，将流分割成部分是不相关的，然而，分类成不同的基频是重要的。离散优化问题（Eq. 实际上不能解决，因为对于M的选择，计算成本随着r0（对于非秩亏数据mC21如图1右侧所示。总之，我们建议使用这两种聚类方法来选择组件。一个选择由联合聚类（从聚类方法中发现）组成，每个聚类通过检查各自的单独分量来揭示这是因为聚合将流分割为相关部分，因此对组件进行了分类。在图1中，示出了表示流的不同现象的两种聚类方法。我们提出了两种快速聚类方法，用于聚合将检测相同组件的组件，而不是使用这种耗时的（类似PCA的能量如上所示，聚集的分量揭示了将流分类为诸如瞬态响应或稳态的段的相关物理特征随后，可以针对特定的检测特征单独研究组件。以下两种聚类方法对本征值及其新表示进行操作我们是根据时间模式来聚合的因此，每个聚合都包括分量的复共轭对应物，使得时间发展应该使用如等式中的实部来评估（八）、4.3.1. 距离聚类几种流动现象，如阻尼过程的特点是模式，表现出非常相似的频率和增长率。因此，我们建议聚集具有紧密定位的特征值的分量。对于这个过程，我们首先稀疏的潜在的本征值，使流可以充分重建。然后，基于距离的聚类方法被应用于这些特征值。该方法在图中突出显示。7、（一）。它通常导致多个群集 C11、C12、. . . 可以揭示特征然而，特征值λ1总是手动添加到每个聚类。为了检查集群的相关性，检查时间发展。例如，图1右侧示出了集群C115. 结果为了证明我们提出的技术的有用性，我们将其应用到非定常流场，以确定不同的基于频率的功能。第一个例子是生成的合成流，我们称之为叠加四涡旋。它是两个人工2D流场的叠加，称为quadgyre，是双环流的延伸（Shadden等人，，2005）流场。这个场景演示了DMD在周期流中的应用，并说明了我们的聚合方法的正确性下一个例子是一个模拟的冯卡门涡街，这是一个更复杂的非定常流导致的平衡状态。我们改进的技术使我们能够识别与瞬态响应和稳态相关的相关组件。最后，我们考虑一个三维冯卡门涡街，以显示如何进行的方法，以三维。一般来说，DMD模式的空间可视化保持简单，以证明DMD模式之间的连接，特别是突出的2D和3D冯卡门涡街的相似性5.1. 示例1：叠加四边形当把DMD应用于重叠的周期现象时，如叠加的四元涡旋数据集，我们用DMD得到特征特征我们改进的技术可以识别这些，并且集群代表每个单独的周期性现象，正如我们将在下面演示的那样：叠加的四涡旋数据集是两个非定常流场的叠加，2T. Krake，S.Reinhardt，M.Hlawatsch等人视觉信息学5（2021）1523= −25273见图8。 谐波聚类方法应用于叠加的四次回转数据集的过程：在左边，从两个非稳态数据集中选择快照，流场（流I和流II）被示出为叠加的四涡旋的特征。这些数据集在每种情况下都由四个周期性地从左向右运动（流I）或从右上向右下以新月形运动（流II）的涡流组成。中间的特征值表示揭示了可以通过谐波聚类方法捕获的两种不同的频率模式。对于每一个聚集，三个最主要的模式是由他们的时间发展。可以观察到，每个聚合表征一个相应的基流，这验证了聚类方法的有用性。见图9。 叠加四涡旋数据集的优势结构。除了对于更高频率的下降行为，我们立即观察到没有收敛和发散部分。我们得出流动的周期性。此外，表示表明存在两种不同的衰变模式。不同的基础运动和频率。 其中一个流场是基于原始的doublegyre数据集（Shadden et al. ，2005），另一个是对其的轻微修改。每个流程的完整周期如图所示。8（左）。两种流动的分析公式由下式给出：u（x，y，t）πAsin（πf（x，t））cos（πg（y，t））dg（y，t），dyDFv（x，y，t）=πAcos（πf（x，t））sin（πg（y，t））dx（x，t），其中f（x，t）=εsin（ωft+sf）x2+x−2ε sin（ωft+sf）x，g（y，t）=εsin（ωgt+sg）y2+y−2ε sin（ωgt+sg）y。两个数据见图10。该图显示了 通过应用于叠加的四边形数据集的谐波聚类方法发现的两个聚集体的时间发展与相应的原始流量之间的误差，其被平均减去以消除恒定部分（比较图1）。8）。由于误差是非常小的，每个集群捕捉一个原始流的动态