广义向量似变分不等式：Banach空间中的存在性和应用

！× ！×！Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，144埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章广义向量似变分不等式Syed Shakaib Irfana，*，Rais AhmadbaP.O.卡西姆大学工程学院Box 6677，Buraidah 51452，Al-Qassim，沙特阿拉伯bAligarh穆斯林大学数学系，Aligarh 202002，印度接收日期：2013年7月10日;修订日期：2013年12月1日;接受日期：2014年2014年3月15日在线提供本文在Banach空间中引入并研究了一个推广的向量似变分不等式。利用Stampacchia型和Minty型映象的g-h- g -拟单调性，得到了推广的向量似变分不等式的一些存在性结果2010年数学学科分类：49 J40; 47 H19; 47 H04？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 引言和附录1980年，Giannessi[1]在有限维欧氏空间中引入了向量变分不等式。向量变分不等式是变分不等式的一种推广形式，在运筹学、经济学平衡、最优控制、自由边值问题和最优化 等 不 同 领 域 都 有 应 用 。 2007 年 ， Zhao 和 Xia[2] 利 用Stampacchia和Minty型的真g2010年，Irfan和Ahmad[3]利用逃逸*通讯作者。联系电话：+966 552216231。电子邮件地址：shakaib@qec.edu.sa（S.S.Irfan），rediffmail.com（R.Ahmad）。同行评审由埃及数学学会负责序列的具体可参见[4本文在Banach空间中引入并研究了一个推广的向量似变分不等式。利用Stampacchia型和Minty型映象的g-h设X和Y是两个实Banach空间，K<$X是非空的闭凸子集，C <$Y是Y中的点闭凸锥，使得int C- /，其中int C表示C的内部，L <$X ; Y <$是从X到Y的所有连续线性映射的空间. 对于任意l 2 L<$X; Y<$; x 2 X，设hl;xi表示l在x处的值。让S;T：K！LX;Y，g：K K，g：K K X和h：K K Y是映射.我们考虑以下扩展的向量类变分不等式：8>找到x2K，使得;吉耶夫利-伊什hSxTx;ggy;gxi hgy;gxPC0;：8y2K;1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.01.009制作和主办：Elsevier关键词广义向量似变分不等式;存在性结果; C-凸; KKM-映射;g-h->广义向量似变分不等式的存在性结果145>：.- 是的联 系 我们.- 是的¼þ÷¼5 2 cosx2！× ！×！nk¼1 和 u：¼kv; hTu;v-uiP1/11/1n1/1 ki¼1和u：¼n1/1 kivi; hTu;ggvi;guiPC0的Minty类型，如果对于所有向量v1;v2;。P. . ;vn2K和标量PPu：¼n1/1 kivi; hTvi;vi-uiPC0对某些i成立。和实施例1.1. 设X<$R;K<$R;Y<$R2;C<$R2和8 .第八条。3米x2米。cosx100>找到x2K，使得;Sx3个单位x，TxSinx 2，gx¼2x;gy;xEVVLI-II8y 2K：特殊情况：¼3 y-4 x和hx; y¼。那么8x;y2K6y- 8x3y2-xy- 4x2100，8x; y2K。(i) 如果S=0，且g¼I，则（EVVLI-I）和（EVVLI-II）hSxTx;ggy;gxihgy;gx简化为Ahmad[9]考虑和研究的以下向量似变分不等式5 2 sinx3y4x5 2 cosx12y- 16x12y2- 4xy- 16x2伊兹密尔求x2K使得;hTx;gy;xihy;xP0;8y2K;52015 - 05-02cosx2015 - 03y-4x2015403y-4x xx x403y-4x100y100x100和C1/3y-4xx x92 sinx5 2 cosx 4y 4xPC0;VVLI-II求x2K使得;hTy;gx;yihx;y6C0; 8y2K：这意味着3y> 4x。因此，hSyTy;ggx;gyi hgx;g y(ii) 如果S;h 0和g I，则（EVVLI-I）和（EVVLI-II）简化为以下向量类变分1/4。 5分2秒的罪x 10分3秒-4秒的时间。12x- 16y12x2- 4xy- 16y2不等式 夏[2]1/3x-4y.9月 2日5 2 cosy 4x 4y0.6C0：伊兹密尔和VVLI-II求x2K使得;hT=xT;gT= xT;xT=xT;gT=xT;求x2K使得;hTy;gx;yi6C0; 8y2K：S和T是g-h-g-pseudomonotone。定 义 1.4[10] 。 一 个 多 值 算 子 S ： X2Xω被 称 为quasimonotone，如果对所有的x;y X，以下含义成立：9xω2Sx：hxω;y-xi>0）9yω2Sy：hyω;y-xiP0：结果需要以下概念和结果。定义1.1.映射f：K！Y被认为是半导体-定 义 1.5[10] 。多值 算 子S：X！2Xω是所 谓的 适 当quasimonotone ， 如 果 对 每个 x1;x2;. ;xn2X 和 每 个 y2 Convfx1;x2;. ;xng存在i使得连续的，如果对任何固定的x;y2K，映射ω ωt#fxty-x在0处连续。定义1.2.让C：K！2Y是集值映射，h：KKY和g：KKX是单值映射。然后(i) h·;v在第一个参数中被称为C-凸的，如果htu1- t u; v2th u; v1- th u; v- C;8u1;u22K;t2½0;1]：8xi2Sxi：hxi;y-xii60：定 义 1.6. 一 个 映 射 T ： K ！ 称L<$X; Y<$ 是Stampacchia型真拟单调的，如果对所有向量v1; v2;. ; v n2 K和标量kiP 0; i 1; 2;. n与我我我我C 0 适用于你的身份称T是Minty型真拟单调的如果 为 所有 向量v1;v2;. . . ;vn2KPn和 标量1 2 1 2ki1，i¼1;P2;. . . ;n与i1(ii) 如果K是一个仿射集，则称g_x;y_x是仿射的，关于u，如果对于任意给定的v2Kgtu1-tu2;vu1-tu2;vu1-tu2;v-C;8u1;u22K;t2R定义1.7.一 个映射T：K！ L<$X; Y<$，g：K × K！KG：K！K是三个映射。T被认为是适当的Stampacchia型g-g-拟单调性若对所有n2N，对所有向量v1;v2;. . . ;vn2KP和标量kiP0;i1;2;。 . . ;n保持一些i。 T称为真g-g定义1.3. 让S;T：K！ L<$X; Y<$， g：K× K！ X，kiPP0;i¼1;2;. . . n与ni¼1ki1，h：K × K！ Y和G：K！ K是映射。然后是S和T称之为g-hhSxTx;ggy;gxi hgy;gxPC0;）hSyTy;ggx;gyi hgx;gy6C0：....n用u¼tu11-tu22K。与ΣΣ.ΣΣkiP0，146S.S.伊尔凡河，巴西-地Ahmadnu：¼i/1kiv i; hTv i;ggv i; guiPC0对某些i成立。定义1.8.一 个映射T：K！ L<$X; Y<$，g：K ×K！ X，h：K×K！Y和G：K！K是映射。T是说是适当的g-h- g -拟单调的Stampacchia型，如果对所有n 2 N，对所有向量v 1 ; v 2 ;. vn 2K和标量kiP0;广义向量似变分不等式的存在性结果147PPy22xP¼i.！2.！我我！1/12ðÞ我1/1我我我n1/1 kivi;hTvi;ggu;gviihgu;gvi6Sx九乘四，Tx6x4，gx3x;gy;x 2y那里 存在 x2K;tP 0;i¼ 1; 2;. n与t1/2þn⊂其中Co表示凸壳算子。PP2C42九乘二2第二节. ;n，其中nk<$1和u：<$nkv;hTu;gg v;gu ihgv i;gupC0对某些i成立。称T是Minty型真n引理1.3. 设Y是拓扑向量空间，具有一个凸尖闭锥，使得intC- /。 则对于所有x; y; z 2 Yv1;v2;. .. ;vPn2K和标量kiP0;i1;2;. . ;n，其中i<$1ki<$1实施例1.2.设X;KY;C与例1.1相同，.6x2英寸。9x2英寸--y = 2K; x = 8K; y = 2K。我们认为S和T是Stampacchia型的g-h假设相反，n2. 存在性结果在本节中，我们通过使用引理1.2建立了（EVVLI-I）和（EVVLI-II）的一些存在性结果。引理2.1. 让S;T：K！ L<$X; Y<$，g：K × K！X，h：K×K！Y和G：K！K是映射满足使得我我1/1我hSxTx;ggxi;gxihgxi;gxjC0;第二节. ; n;(a) S和T是(b) 对任何固定的y2X，映射y#hSyTy;ggx;gyi是半连续的，hgx;gyi是半连续的，其中xni1ti xi，由此得出，连续的fz tg！x02K;zt2K;(c)h ð·;g ð y ÞÞ是 C-凸 在 的 第一 变量和hSxTx;ggxi;gxihgxi;gxhgx;gx¼0; 8x2K;15x215x4106xi-103x-9x1043xi 3x4x2× 9x2(d)第一个变量中的g·;gy，g =1.00g×1.00g;g= 1.00g ×1.00g; 8×2K。.15x206x3x209x200！.3 x i 3 x！15x106xi- 3x109x109i9x等效.15 x26x i-3 x 9 x2 3 x i 3 x！I0; 8x2K;1/415 x416x- 3x19x219x219x 219x2jC0;0 0 0 0C我我i¼ 1;. ; n;这是一个矛盾，因为15x26xi- 3x9x2 3xi 3xPC 0;15x46xi- 3x9x29x2PC0对于至少一个I.因此，S和T是真正的Stampacchia型g-h引理1.1. 让S;T：K！LX;Y，g：K×K！X，h：K × K！Y和G：K！K是映射。如果S和T是Stampacchia型，则S和T是Minty型的证据这一事实直接来自定义1.3，1.8. H定义1.9.设D是拓扑Hausdorff空间E的非空子集。一个映射G：D2E（E的非空子集族）称为KKM映射，如果对一个nSy铁镍铁矿设置fx1;x2;.. . ;xngD，Cofx1;x2;. . . ;xngII证据由于S和T是g-ha 假设对于任意x02K，hSxTx;ggx0;gxihgx0;gx6C0;8x2K：12： 10对于任意的z2K，设zt<$1-t<$x0<$tz;t2 < $0;1 <$，我们通过K的凸性得到zt2K.所以我们有hSztTzt;ggx0;gztihgx0;gzt6C0;8x2K：12： 20现在我们证明hSztTzt;ggz;gztihgz;gztPC0：12：3相反，假设存在某个t0; 1，使得hSztTzt;ggz;gztihgz;gzt0¼hSztTzt;ggzt;gztihgzt;gzt1/ 4 hS zt Tz t;g1 -t gx0 tgz;g zt i¼和u：对于一些0次保持(i) x-y2-C和xR-intC）yR-intC;(ii) x2-intC和yR-intC）x2-yRC。以下条件：¼jC0则对于任何x02K，以下语句是148S.S.伊尔凡河，巴西-地Ahmad0不不不不不不不不不h¼t fhS z Tz; ggz; g z ih gz;g z g引理1.2[11]. 设D是拓扑空间Hausdorff向量空间E和G：D！ 2 E是KKM映射。þð1 -tÞfhSðztÞþTðztÞ;gðgðx0Þ;gðztÞÞiþhðgðx0Þ;gðztÞÞg2tfhSz Tz;ggz;gz ihgz;gzg如果G∈Tx∈ T对任意x2D是闭的，对某个x2D是紧的，[001pdf1st-31files]然后x2DG x-广义向量似变分不等式的存在性结果149Sð Þ2\PS2ð Þ2ð Þ⊂ð Þ我的天12nn1/1我我n我C这意味着tfh S ztT zt;ggz; g zti hgz; g ztg 1- t×fhSztTzt;ggx0;gztihgx0;gztgRC：这是个矛盾因此hSztTzt;ggz;gzti hgz;gzt=C0：条件b表示，hSx0Tx0;ggx;gx0ihgx;gx0PqC0;8x2K：这就完成了证明。H定理2.1. 设X和Y是两个实Banach空间，K∈X一非空，紧凑和凸集让S; T：K！ L<$X;Y<$，g：K × K！ X; h：K × K！ Y和因此，存在x2K，使得hSxTx;ggy;gxihgy;gx=C0;8y2K：这就完成了证明。H定理2.2. 设K是实自反Banach空间X中的非空有界闭凸集，Y是实Banach空间。 让S; T：K！ L<$X; Y<$; g：K× K！X; h：K × K！Y和g：K！K是满足以下条件的映射：(a) S和T是Minty型的真(b) 8x2K，g/gx;g/gx^则存在x2K使得hSyTy;ggx;gyi hgx;gy5C0; 8y2K：K证明。 定义一个多值映射M2：K！2乘g：K！K是满足以下条件的映射：（a）对于任何固定的y2X，映射x#hS<$x< $T<$x <$;ggy;gxi和h·;gxi是连续的;（b）S和T是Stampac的真M2zfx2K：hSzTz;ggx;gzi2008年，美国国家航空航天局（NASA）宣布，美国国家航空航天局（NASA）将于2008年10月25日在纽约举行第二次世界大战，并于2008年10月25日在纽约举行第二次世界大战。则Mz对每个z2K非空。假设M不一 KKM映射， 然后 那里 存在 fx1;x2;. ;xngK，chia型;x¼Pnt x，其中t> 0;i 1; 2;. . ;n和Pnt1这样（c）就所有x 2 K; g�g�x�;g�x�x�0�h�g�x�; g�x�x�。第一季第1集xR我1/12i¼1i则存在x2K使得hSxTx;ggy;gxihgy;gxPqC0;8y2K：证据 定义一个多值映射M1：K！2K由M1zfx2K：hSx Tx;ggz;gx ihgz;gxPqC0g;8z2K那么M1z对于每个z K都是非空的。我们称M1是一个KKM映射.事实上，如果不是这样，这意味着hSxiTxi;ggx;gxiihgx;gxiiC0;第二节. ; n：这与条件A相矛盾。因此M2是一个KKM映射.此外，很容易证明M2<$z<$对所有z2K是有界的、闭的和凸的。由于X是自反的，M2<$z <$对所有z2K都是弱紧的.从引理1.2可以得出：M2z-z2 K因此，存在x2K，使得fx; x;.. . ; x g K; x ¼ Pnt x，其中t> 0; i 1; 2;. ; nhSyTy;ggx;gyi hgx;gy50;8y2K：且i1t i 1使得xRi1M1x i。这意味着hSx Tx;ggxi;gxihgxi;gxjC0;i¼1;2;. ;n：这与条件B相矛盾。因此M1是一个KKM映射;现在我们证明对任意z K;M1z 现在关门了根据图a，设存在一个网fxng <$M1<$z<$，使得x n！ x 2 K。因为hSxTx;ggz;gxnihgz;gxn=C0;8n;我们有hSxTx;ggz;gxihgz;gx=C0：因此x2M1，所以M1是闭的.从K的紧性和M1zK的闭性可以得出M1z是紧的.根据引理1.2，我们有\M1z-这就完成了证明。H致谢作者非常感谢审稿人对改进稿件提出的建设性和有益的建议。引用[1] F.杨明，二次规划与互补问题的基本定理，载于：R。Cottle，F. Giannessi，J.L. Lions（Eds.），变分不等式和互补问题，John Wiley and Sons，1980，pp. 151-186。[2] Y. Zhao，Z.夏，似变分不等式组的存在性结果，非线性分析。真实世界应用8（2007）1370- 1378。[3] S.S.伊尔凡河，巴西-地Ahmad，广义多值向量变分不等式，J. Glob.最佳。46（1）（2010）25-30。[4] R. Ahmad，S.S.李文，关于广义非线性似变分不等式问题，应用数学。(19)（2006）294-297。z2 K2n150S.S.伊尔凡河，巴西-地Ahmad[5] Q.H.标准高度安萨里，J.C. Yao，关于不可微和非凸向量优化问题，J. Optim。Theory Appl.106（3）（2000）487-500.[6] Q.H.标准高度安萨里，J.C.姚，解混合似变分不等式的迭代格式，J。最佳。理论应用（108）（2001）527-541。[7] A.P. Farajzadeh，B.S.李，向量似变分不等式问题与向量优化问题，应用数学快报。23（2010）48-52。[8] S.K. Mishraa，S.Y.王，向量似变分不等式与非光滑向量优化问题，非线性分析。64（2006）1939-1945。[9] R. Ahmad，向量似变分不等式的存在性结果，Thai J. Math.9（3）（2011）553-561。[10] A. Deniillem，N. Hadjisavvas，非光滑半严格拟凸和严格拟凸函数的特征，J。最佳Theory Appl.102（1999）525-536.[11] K.范，与不动点定理有关的凸集的一些性质，数学分析。266（1984）519-547。