多重集的拓扑逼近及粗糙集理论的应用-埃及数学学会研究成果

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，123埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章多重集的拓扑逼近赛义德工作台埃及艾斯尤特艾斯尤特大学理学院数学系Qassim大学科学和艺术学院数学系，沙特阿拉伯Muthnab收稿日期：2012年5月18日;修订日期：2012年11月19日;接受日期：2012年2013年1月11日在线提供摘要粗糙集理论是处理不精确、不确定或模糊信息的有力数学工具。粗糙集理论的核心概念是信息系统和近似空间的近似算子。在本文中，我们定义并研究了任何多重集的三种类型的下多重集和上多重集近似。这些类型基于由多集关系导出的多集拓扑的多集基。此外，还讨论了广义粗糙集与集拓扑最后，通过一个例子说明了粗糙多集近似的不同广义定义之间的关系数学潜规则分类：54A05、03E20、97R20、68U352012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍Pawlak[1，2]提出的粗糙集理论是集合论的一种扩展，用于研究具有不充分和不完全信息特征的智能系统利用论域上的一个等价关系构造了上下近似算子。利用粗糙集理论中的上下近似概念，可以将信息系统中隐藏的知识以决策规则的形式揭示出来[2，3]。电子邮件地址：abotabl@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责经典的粗糙近似是建立在等价关系的基础上的，但这一要求在某些情况下并不满足。从而将经典的粗糙近似推广到基于相似关系的粗糙集[4，5]、基于容差关系的粗糙集[6]、基于任意二元关系的粗糙集[7-在经典集合论中，集合是定义明确的不同对象的集合。如果一个集合中允许任何对象重复出现，那么就有一个数学结构，称为多重集合（mset[15]或bag[16]，简称）。因此，一个多重集合与一个集合的不同之处在于，每个元素都有一个重数，一个自然数，不一定是一个表示它是多重集合成员的次数的数。最自然和最简单的例子之一是正整数n的素因子的多重集。数504具有因子分解504= 23 3271，其给出多重集{2，2，2，3，3，7}。1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.12.001制作和主办：Elsevier关键词粗糙集最小下近似和最大上近似M-关系M-拓扑M-基准确度度量124赛义德工作台ð ð ÞÞ在任何一个信息系统中，都可能出现话语论域中各自的计数对象不单一的情况。在这种情况下，我们用称为粗糙多集的多集来代替它的论域使用粗糙多重集的动机来自于需要用多重集（论域）的一个分区的m-等价类来表示多重集的在[17]中解释了mset等价关系和mset划分。mset划分刻画了一个M-拓扑空间，称为逼近mset空间（M，R），其中M是一个称为论域的mset，R是一个等价mset关系。R的m-等价类也被称为具有表示的粒或基本m集或块。[m/x]cM用来表示M中含有m/x的半等价类。在近似mset中，有两个算子：子集的上mset近似和下mset近似。粗糙集理论中一个有趣而自然的研究课题是从拓扑学的角度来研究粗糙集理论事实上，Polkowski[18]指出：粗糙集理论的拓扑方面在划分的拓扑框架中很早就被认识到Skowron[19]和Wiweger[20]在1988年分别讨论了经典粗糙集理论中的这个问题 Polkowski [21]基于信息系统从 粗 糙 集 出 发 构 造 并 刻 画 了 拓 扑 空 间 . Pawlak[2] 和Polkowski[18]分别对相关工作进行了 Kortelainen [22]考虑了基于预序的修改集、拓扑空间和粗糙集之间的关系（也参见[23]）。Lin[24]继续讨论了这一问题，并建立了模糊粗糙集和拓扑之间的联系此外，Lin[25]利用拓扑和邻域系统建立了粒计算模型. 一些学者从不同的角度讨论了广义粗糙集与拓扑的关系。Skowron等人[6，26]将经典的近似空间推广到容差近似空间，并讨论了容差近似空间中的属性约简问题Lashin等人[27]引入了由子基生成的拓扑，并由拓扑的子基定义了拓扑粗隶属函数关于这个主题的其他文章我们参考[28此外，模糊粗糙集理论和模糊拓扑之间的联系也被研究（见[36在第二节中，我们首先介绍和研究了粗糙集理论的一些性质以及mset和mset关系的一些概念。此外，我们在第3节中定义了第一类广义粗糙集。此外，在第4节中，我们定义了第二类广义粗糙集。此外，我们在第5节中定义了第三类广义粗糙集。此外，委员会认为，L1：RARAc]c，其中Ac表示A的补数在usL2。 R（U）=U。L3。R（A\B）=R（A）\R（B）。L4. R（A[B）sR（A）[R（B）.L5。AcB）R（A）cR（B）。L6。R（f）=f。L7。 R（A）c A.L8：ARR A.L9。R（A）cR（R（A））。L10：RARR AC.U1：RA½RAc]。U2：R/N/。U3 ： RA [BRA[RB 。 U4 ：RA\BRA\RB.U5：AB）RA RB.U6：RUU。U7：A RA.U8：RR AA.U9 ： RR ARA. U10 ：RRARA.鲁：RARA。性质L1和U1说明两个近似是彼此对偶的。因此，具有相同数字的属性可以被视为双重属性。性质L9、L10、U9和U10用集合包含表示使用集合相等的标准版本可以从L1到L10和U1到U10导出。例如，从L7和L9可以得出R（A）=R（R（A））。还应该注意的是，这些属性不是独立的。对于任何子集AcU，可以使用下近似和上近似将宇宙划分为三个不相交的区域：BNDARA -RA位置ARANEGAU-RA负区域NEG（A）的元素绝对不属于A，正区域POS（A）的元素绝对属于A，边界区域BND（A）的元素可能属于A。根据任何关系R，集合AcU的准确性度量定义为：lAjRA j第6节给出了一个说明性的例子，以便说明R评估不同类型的广义jRAj粗糙多集近似的定义。最后，在第七节中给出了一些结论。2. 预赛在本节中，我们将介绍粗糙集，多重集和多重集关系的一些基本概念的回顾2.1. 粗糙集假设我们有一个有限的非空对象集U，称为宇宙，R是定义在U上的二元关系。我们列出了粗糙集理论中感兴趣的性质[1，2]，设A，BcU：其中，表示集合的基数。可以注意到，06 lR（A）61。如果A在U中可定义，则lR（A）=1，如果A在U中不可定义，则lR（A）<1。2.2. 多集与多集关系在本小节中，简要介绍了Yager[16]引入的mset概念，不同类型的mset集合以及Girish和John[17，39，40]引入的mset上下文中关系的基本定义和概念。定义2.1[41]。从集合X中提取的msetM由函数CountM或CM表示，定义为CM：其中N表示非负整数的集合。多重集的拓扑逼近125222222zj½N]zjzN时zN¼C¼n2z元素是mset，多集拓扑缩写为在定义2.2.1中，CM（x）是元素x在m集合M中出现的次数。然而，不包括在msetM中的那些元素具有零计数。设M和N是从集合X中抽取的两个m集合。以下是一些定义[41]：(i) M= N如果CM（x）= C N（x）对于所有x 2 X.(ii) McN如果CM（x）6CN（x）对所有x2X.(iii) P=M[N，如果CP（X）=Max{CM（x），CN（x）}，x2X.(iv) P=M\N，如果CP（x）=Min{CM（x），CN（x）}x2X.定义2.2[41]。定义域X为一组元素，其中msets是mset空间[X]m是所有元素为X的mset的集合，使得mset中没有元素出现超过m次。如果X ={x1，x2，. ，x k}，则[X] m={{m1/x1，m2/x2，.2000年，m k/x k}：对于i=1，2，. . ，k; m i{0，1，2，. . ，m}}。赫姆表示从多集空间[X]m中提取的多集。定义2.3[41]。设M是从集合X画出的m集合。由M * 表示的 M 的 支 撑 集 是 X 的 子 集 ， 并 且 M*={x X ： CM（x）>0}，即，M*是一个普通的集合，它也被称为根集。定义2.4[41]。设X是支撑集，[X]m是定义在X上的m集空间。则对于任何msetM [X]m，M在[X]m中的补集Mc是[X]m的元素，使得M¼m-CMx，所有x2X。设M是来自X={x1，x2，. ，xn}，其中x在M中出现n次。用x2M表示。m集合M={k1/x1，k2/x2，.. . ，kn/xn}表示M是一个mset，x1出现k1次，x2出现k2次，以此类推.引入一种新的符号，用于定义两个多集的笛卡尔积、多集的关系及其定义域和余定义域.形式（m/x，n/y）/k的条目表示x重复m次，y重复n次，并且对（x，y）重复k次。定义域和余定义域的计数随（m/x，n/y）/k中x坐标和y坐标的计数而变化。因此引入了符号C1（x，y）和C2（x，yC1（x，y）表示有序对（x，y）中第一个坐标的计数，C2（x，y）表示有序对（x，y）中第二个坐标的计数。M定义2.6[17]。 设 M1和 M2是从集合X中抽取的两个m集合，则M1和M2的笛卡尔积被定义为M1·M2={（m/x，n/y）/mn：xmM1，ynM2}这里M1·M2中的条目（m/x，n/y）/mn表示x在M1中重复m次，y在M2中重复n次，而（x，y）对在M1·M2中重复mn次。三个或更多非空mset的笛卡尔积可以通过推广两个mset的笛卡尔积的定义来定义定义2.7[17]。M · M的一个子集R称为M上的一个mset关系，如果R的每个成员（m/x，n/y）都有一个计数，即C1（x，y）与C2（x，y）的乘积。与n/y相关的m/x表示为（m/x）R（n/y）。定义2.8[17]。设M是[X]m中的m集合。随后，又有了下文。(i) m集合M上的m集合关系R是自反的当且仅当对M中的所有m/x都是（m/x）R（m/x），非自反的当且仅当（m/x）R（m/x）从不成立。(ii) 在 m 集 合 M 上 的m 集 合 关系 R 是 对 称的 当 且 仅 当（m/x）R（n/y）蕴涵（n/y）R（m/x），反对称的当且仅当（m/x）R（n/y）和（n/y）R（m/x）蕴涵m/x和n/y相等。(iii) 在m集合M上的m集合关系R是传递的，如果（m/x） R （ n/y ） ， （ n/y） R（ k/z ） ， 然 后 （ m/x） R（k/z）。一个m集M上的m集关系R称为等价m集关系，如果它是自反的、对称的和传递的。实施例2.1.设M={3/x，5/y，3/z，7/r}是一个m集。则由R={（3/x，3/x）/9，（3/z，3/z）/9，（3/x，7/r）/ 21，（7/r，3/x）/21，（5/y，5/y）/25，（3/x，3/z）/9，（7/r，7/r）/49，（3/z，3/x）/9，（3/z，7/r）/21，（7/r，3/z）/21}给出的mset关系是等价mset关系。定义2.9[41]。M的子集N是M的整个子集，其中N中的每个元素具有与M中相同的完全重数。也就是说，CN（x）=CM（x）对于每一个x2N*。定义2.10[41]。M的子集N是M的部分完整子集，其中N中的至少一个元素具有与M中相同的完全多重性。也就是说，CN（x）=CM（x）对于某个x2N*。定义2.11[40]。设M2[X]m和P*（M）.如果s满足以下性质，则称s为多集拓扑。(1) ;和M在s中。定义2.5[15]。设M[X]是一个mset。 功率MsetM的P（M）是M的所有子集的集合。也就是说， NP（M）当且仅当Nc M。如果N=1，则N21P（M）;并且如果Nn1，则N2kP（M）(2) s的任何子集合的元素的并集都在S.(3) s的任何有限子集合的元素的交集都在s中。其中k^Q。j½M]zj，则乘积Q被dis取代m集合N的z的色元素和m[M]z=m当且仅当z2mM，对（M，s）由m集合M2[X]m和多重集合M 2[X] m组成nQ.j ½M]。M上的m-拓扑scP*（M）. 注意s是一个普通的集合，m！n！快-快！.[j½]zjnM-拓扑M-拓扑空间M的子集U是mset的幂集是幂mset的支撑集，用P*（M）表示。幂mset是一个mset，但它的支撑集是一个普通的集合，其元素是mset。C在数学上，多集拓扑空间是一个有序的n=N当且仅当z2126赛义德工作台如果U属于M-拓扑，则M是M的开mset此外，M-拓扑空间M的子集U称为闭的，如果C是开放的[40]。多重集的拓扑逼近1272222n\：）[\\2K22hi ²\h定义2.12 [40]。设R是M上的m集关系。x m M的后置集被 定 义 为 （ m/x ） R={n/y ： $some k with （ k/x ） R（n/y）}。定理2.1[40]. 若R是M上的mset关系，则后类P +={（m/x）R：xmM}形成M上的M-拓扑的子M-基.定义2.13[40]。如果M是一个m集，则M上的M-拓扑的M-基是M的部分全子集的集合B（称为M-基元素），使得(i) 对于每一个x m M，对于某个m>0，存在至少一个包含m / x的M-基元素B B。也就是说，对于B中的每个mset，至少有一个元素具有与M中相同的全重数。(ii) 如果m/x属于两个M-基的交，分别其中[m/x]称为m/x在M中的等价类。对（RL（A），RU（A））称为A的粗糙多集.粗糙多重集（ RL （A）， RU（A））在现有知识下给出了A的描述，即M的分类。3. 第一类广义粗糙集在这一节中，我们将介绍使用M-拓扑的M-基来定义下mset近似和上mset近似的第一种类型。定 义 3.1. 设 R 是 M 在 [X]m 中 的 任 意 二 元 m 集 关 系 . 然后msetn/yR被定义为所有包含n/y的后mset的交集。也就是说，M1部分和M2，则存在M基元素<8人m=x如果9m=x2M：y2<$m=x<$RM3包含m/x使得M3c M1\M2。也就是说，那里hn=yiR¼y2nm=xR是一个M-基元素M3，它包含一个在M中具有完全重数的元素，并且该元素也必须在M1和M2中.定义2.14 [40]。给定M-拓扑空间M的一个子集A，一个子集A的闭包定义为所有包含A的闭子集的交，记为Cl（A）。也就是说，Cl（A）= {KcM：K是闭集且AcK}和CCl（A）（x）= Min{CK（x）：AcK}。定义2.15[40]。一个闭包mset空间是一个对（M，Cl），其中M是任何多重集，Cl：P*（M）P*（M）是一个映射，每个元素都是NcM，一个子集Cl（N）cM，称为N的闭包，使得(i)C（）=;;否则定义3.2.设R是非空多重集M上的任意二元多重集关系.对于任何子集AcM，A根据R的下mset和上mset近似定义为：RAfm=x：hm=xiRAgR=A=fm=x：hm=xiR\A显然，如果R是一个等价关系，则 <$m/x<$R=[m/x]，这些定义与原始定义[8]等价。根据任何mset关系R，msetAcM的准确度测量被定义为：lAjRA jR(ii) 氯（N）(iii) Cl（Cl（N））=Cl（N）(iv) Cl（A[B）=Cl（A）[Cl（B）定义2.16[40]。给定一个M-拓扑空间M的子集A，一个子集的内部被定义为所有包含在A中的开m集，记为Int（A）。也就是说， Int（A）={G c M：G是开集且G cA}，CInt（A）（x）=Max{CG（x）：GcA}。定义2.17[40]。对于运算符Int：P*（M）fIP*（M），如果它满足以下规则。对于每个M1，M2cM，(i) Int（M 1M 2）= Int（M 1）Int（M 2）。(ii) Int（M1）cM.(iii) Int（M）=M。(iv) Int（Int（M））=Int（M）。jRAj可以注意到，06 lR（A）61。如果A在M中可定义，则lR（A）=1，如果A在M中不可定义，则lR（A）1。引 理 3.1.对 于 M 上 的 任 意 二 元 mset 关 系 R ， 如 果 xm<$n/y<$R，则是m/x<$Rc<$n/y<$R。证据 设zm=xRx2ml=wRl=wR. 则k/z包含在包含m / x的任何（l/w）R中，并且由于m/x也包含在包含n / y的任何（p/u）R中，则k/z包含在包含n / y的任何（p/u）R中，即，zkn/yR. 然后是m/xRcn/yR。 H3.1号提案对于非空多重集M上的任何二元多重集关系R，以及对于每个A，BcM，根据定义3.1，性质L1-L5，L9，U1-U 5和U9成立。证据（L1）C cccc c定义2.18[40]。对于任何AcM，下mset近似-½RA]¼fm=x：hm=xiR\AA的mation和upper mset近似可以定义为RLRUl/l;g/lfm=x：hm=xiRAg /lR A（L2）由于R（M）cM，对所有x2mM，也有<$m/x<$RcM，因此x2R（M）。则McR（M）。因此，R（M）=M。（L3）128赛义德工作台（二）（二）6 62222 62[RA\Bg <$$>fm=x：hm=xiRA\Bg <$fm=x：hm=xiRA^hm=xiRBg ¼fm=x：hm=xiRAg \fm=x：hm=xiRBg¼RA\RB（L4）假设x2mR（A）[R（B），则x2mR（A）或M实施例3.3. 设R ={（3/a，3/a）/9，（2/b，2/b）/4，（4/c，4/c）/16，（5/d，5/d）/25，（3/a，2/b）/6，（2/b，3/a）/6，（4/c，2/b）/8，（2/b，4/c）/8}是m集M上的 自反对称m集关系={3/a ， 2/b ， 4/c ， 5/d} 。 则 <$3/a<$R={3/a ， 2/b} ，<$2/b<$R={2/b}， <$4/c<$R={2/b，4/c}和 <$5/d<$R={5/d}。若A={2/b}，则R（A）={2/b}且RRAf3=a;2=b;4=cg，因此RR AA. 此外，如果A={3/a，4/c}，则R=Af3=a;4=cgx2R（B）， 因此 m/x或 m/x So2000年x∈RcA[B， 因此 x2mR（A[B）， 因此R（A[B]）sR（A）[R（B）.（L5）设AcB和x2mR（A），则m/x<$RcA，因此m/而RRA;，故ARRA。3.3号提案对于非空集合M上的任意等价集合关系RcM，x<$RcB，因此x2mR（B）。 因此R（A）cR（B）。（L9）假设x2mR（R（A）），有两种情况，而U 10根据定义3.1成立。8 10 8第一种情况是m/x= 所以<$m/x<$RcA，因此xmR（A）.第二种情况是m/xRn所以xm<$m/x<$RcR（A）. 因此，R（R（A））cR（A）。相反，假设xmR（R（A）），则<$m/x<$R<$R（A），存在ynM使得ynm/xR和ynR（ A ） ， 因 此 n/y<$Rc<$m/x<$R 和 （ n/y ） R<$A ， 因 此<$m/x<$R<$A，因此xmR（A）. 因此，R（A）c R（R（A））。我们可以证明U1H下面的例子表明，在L4和U4的逆命题3.1一般不成立。实 施 例 3.1. 设 R={ （ 3/a ， 3/a ） /9 ， （ 3/a ， 4/b ） /12 ，（4/b，5/d）/20，（5/d，2/a）/10}是m集M ={3/a，4/b，2/c，5/d}上的二元m 集关系. 然后 ，3/aR=4/bR={3/a，4/b} ，2/aR={2/a}，2/cR=;和5/dR={5/d}。如果A={3/a，2/c}，则B={4/b，5/d}，则RAf2 =c; 5 =dg;RBf2 =c; 5 =dg;RA [BM; RAf3=a; 4 =bg; RBf3 =a; 4 =b; 5 =dg; RA\Bf 3 = a/;）RA[B-R A [ R B; R A \ B- R A\ R B。提案3.2. 对于非空mset M上的任意自反mset关系R，以及对于任意A，BcM，根据定义3.1，性质L6，L7，U6，U7和LU成立。证据（L6）由于R是M上的自反mset关系，则对所有的x2m M，x2m<$m/x<$R，也不存在x2mM使得<$m/x<$Rc;，因此R（;） =;.（L7）设x2mR（A），则有<$m/x<$RcA. 由于R是M上的自反mset关系，则对所有x2 m M，x2m<$m/x<$RcA。因此x2mA，所以R（A）cA.我们可以证明U6和U7与L6和L7相同.我们也可以从L7和U7证明LU.H下面的例子表明，在L7，U7和命题3.2中的LU一般不成立。实施例3.2.设R={（3/a，3/a）/9，（2/b，2/b）/4，（4/c，4/c）/16，（5/d，5/d）/25，（3/a，2/b）/6，（2/b，4/c）/8，（5/d，4/c）/20}是m集M={3/a，2/b，4/c，5/d}上的一个相关m集关系. 则<$3/a<$R={3/a，2/b}，<$2/b<$R={2/b}，4/c 和2005/证据（L8）设x2mR<$R<$A<$$>，则hm=xiR<$R<$A<$，存在y2nM使得y2n<$m/x<$R且y2nR<$A<$，因此<$n/y<$R\A=;，但R是等价mset关系，因此<$m/x<$R\A=;，因此x2mA。因此，ARRA。（L10）由于R是自反的，则R<$R<$A<$$>R<$A<$。因此，我们假设x2mR<$R<$A<$$>，则hm=xiR<$R <$A<$，存在y2nM使得y2n<$m/x<$R和y2nR<$A <$，因此<$n/y<$R\A=;。由于R是等价的mset关系，则m/xR。因此，RARRA。我们可以证明U8和U10与L8和L10相同.H备注。mset近似的定义3.2和[4]中集合近似的定义3.2是相同的定理3.1. 如果R是M上的自反mset关系，则定义3.1中的上下mset逼近是满足M-拓扑空间公理的内部算子和闭包算子对。在表1中，我们总结了上mset近似算子和下mset近似算子的上述定义的性质以及mest关系的性质4. 第二类广义粗糙集在这一节中，我们将介绍使用M-拓扑的M-基来定义下mset近似和上mset近似的第二种类型。定义4.1.设R是非空msetM上的任意二元mset关系。对于任何子集AcM，A根据R的下mset和上mset近似定义为：R0Afhm=xiR：hm=xiRAgR0A½R0Ac]c因此，准确度测量将被定义为：l0AjR0AjdR={4/c，5/d}。 如果 A={3/a，4/c}， 然后 RAf4=cg;RRAf3=a;4=c;5=dg，因此RA-jR0AjRA.我们将引入下面的例子来证明根据定义3.1，L8和U8不成立，当R是一个自反对称的集合关系时。4.1号提案对于非空mset M上的任何二元mset关系R，对于每个A，BcM，根据定义4.1，性质L1，L3-L7，L9，U1，U3-U 7，U9和LU成立。多重集的拓扑逼近129表1粗糙集性质的比较这取决于R的性质。叉号（·）表示满足属性。第一列包含粗糙集的属性列表。接下来的五列是粗糙mset，分别定义为任何mset关系，自相关mset关系，容差（自相关和对称）mset关系，优势（自相关和传递）mset关系和等价mset关系。1m0n我们可以证明U1，U3L9。我们也可以从L7和U7证明LU.H下面的例子表明，在L4，L7，U4中的逆命题4.1中的U7一般不成立。财产任何关系重新开始。托勒多明Equiva。L·····L2·····L3·····L4·····L5·····L6····L7····L8·L9·····L10·U1·····U2·····U3·····U4·····U5乐队·····U6····U7····U8·U9·····U10·陆····证据 （L1）定义4.1。（ L3 ） 首先，假 设 x2mR0 （ A\B ），存 在 y2nM 使得x2m<$n/y<$RcA\B，则x2m<$n/y<$RcA，x2mn/yRcB，因此x2mR0（A）\R0（B），因此R0（A\B）cR0（A）\R0（B）。第二、假设设x2mR0（A）\R0（B），则存在y2nM和z2kM使得x2m<$n/y<$RcA和x2mk/zRcB ，然 后m/x<$Rc<$n/y<$RcA 和m/x<$Rc<$k/z<$RcB ， 因 此 x2m<$m/x<$RcA\B ， 因 此 x2mR0（A\B），因此R0（A）\R0（B）cR0（A\B）。因此，R0（A）\R0（B） =R0（A\B）.（ L4 ） 设 x2mR0 （ A ）[R0 （ B ） ，则 x2mR0 （ A ） 或rx2mR0 （B），存在y2nM或z2kM使得x2mn/y<$Rc R0（A）或rx2mk/z<$Rc R0（B），因此x2mn/y <$RcA或x2mk/z<$RcB，因此x2mn/y<$RcA[B或 x2mk/z<$RcA[B，则x2mR0（A[B）。因此，R0（A）[R0（B）cR0（A[B）.（L5）设AcB和x2mR0（A），则存在y2nM使得x2m<$n/y<$RcA，因此x2m<$n/y <$RcB，sox2mR0（B）. 因此，R0（A）cR0（B）。（L6）从 定义 我们 得到 R0（;） =？{m/x}R：2000年x∈Rc;} =;.（L7）设x2mR0（A），则存在y2nM使得x2m<$n/y<$RcA，因此R0（A）cA.（L9）设x2R（A），则存在y2M，实施例4.1.在例3.1中，如果A={3/a，2/c}且B={4/b，5/d}，则R0Af2=ag; R0Bf5=dg; R0A[Bf3=a; 4=b;5=dg;R0Af3=a;4=b; 2=cg; R0Bf1=a; 4=b; 2=c; 5=dg及 R0ABf2=cg;） R0A[B-R0 A [R0 B]及R0A\B还有，R0A- A - R 0 A.4.2号提案对于非空集合M上的任意自反集合关系R，根据定义4.1，性质L2和U2成立.证据 （L2）由于R是自相关的mset关系，则对所有x2mM，我们得到x2m<$m/x<$Rc R0 （M），因此M=R0（M）。我们可以证明U2和L2是一样的. H我们将引入下面的例子来证明根据定义4.1，L8和U8不成立，当R是一个自反对称的集合关系时。实 施 例 4.2.在 例 3.3 中 ， 如 果 A={2/b} ， 则 R0 （ A ）={2/b}，且R0<$R0<$A<$^f3=a;2=b; 4=cg，因此R0<$R0<$A<$^f3 =A 。 此 外 ， 如 果 A={3/a} ， 则 R0<$Af3=ag 且R0<$R0<$A;，因此A<$R0<$R0<$A。4.3号提案对于非空mset M上的任何等价mset关系R和每个AcM，根据定义4.1，性质L8，L10，U8和U10成立。证据 直截了当。H备注。mset逼近的定义4.1和[4]中集合逼近的定义3.2是相同的定理4.1. 如果R是M上的自反mset关系，则定义4.1中的上下mset逼近是满足M-拓扑空间公理的内部算子和闭包算子对。在表2中，我们总结了上mset近似算子和下mset近似算子的上述定义的性质，以及mest关系的性质5. 第三类广义粗糙集在这一节中，我们将介绍使用M-拓扑的M-基来定义下mset近似和上mset近似的第三种类型。定义5.1.设R是非空msetM上的任意二元mset关系。对于任何子集AcM，A根据R的下mset和上mset近似定义为：00[x2m<$n/y<$RcA，因此<$n/y<$RcR0（A），因此x2mR0（R0（A））。因此，R0（A）cR0（R0（A））。RAfhm=xiR：hm=xiR\AR00A½R00Ac]c130赛义德工作台Sð Þ¼M下面的例子表明，在L4和U4的逆第5.1章一般都不对 H实施例5.1.在E示例 3.1中，如果A={3/a，2/c}并且B={4/b，5/d}，然后 R00Af3=a;4=bg， R00Bf3=a;4=b;5=dg，R00（A）={2/c}和R00（B）={2/c，5/d}，因此，R00<$A\B<$1;， R00A\R00Bf3=a;4=bg， R00（A[B]）={3/a，4/b，2/c，5/d}和R00（A）[R00（B）={2/c，5/d}. 因此，R00<$A\B<$和R00（A）[R00（B）nR00（A[B）.5.2号提案对于非空集合M上的任意自反集合关系R，对于任意A，B，c，M，6 7根据定义5.1，L6和L7成立。证据（U6）由于R是自相关的mset关系，那么对于所有的x2mM，我们得到x2mm/xR，因此M<$R0 0<$M。（U7）由于x2m<$m/x<$R，则如果x2mA，因此<$m/xR\An;，因此x2mR00An。因此，A R00A。我们可以证明L，L 与U相同，U。H6 7 6 7因此，准确度测量将被定义为：l00AjR00AjRjR00Aj5.1号提案对于非空mset M上的任何二元mset关系R，以及对于每个A，BcM，根据定义5.1，性质U1-U 5，L1-L5成立。证据（1）定义n。（U2）显然，R00;fhm=xiR：hm=xiR\A- ;g\A-;.（U3）R00A[B]fhm=xiR：hm=xiR\A[B-：hm=xiR\xAA- ;或r h m = x i R \xBB- ;g ^fh m = x iR \xAA-;或rh m = x i R\xBB-：hm=xiR\A-¼R00A[R00B（U4）设x2mR00<$A\B<$A，则存在y2nM使得x2<$n/y<$R和<$n/y<$R\（A\B）n;，因此<$n/5.3号提案 对于非空mset M上的任意自反且传递的mset关系R和任意AcM，根据定义5.1，性质U8和L8成立。证据 （ U8 ）假设x2mR0 0 <$R0 0 <$A<$n ，则 存在y2nM 使得x2m<$n/y<$R 和 <$n/y<$R\R0 0 （ A） n; ，存在tsz2kM 使得z2k<$n/y<$R 和 z2kR00 （ A ） n ， 因 此 z2kR00<$Ac<$ ， 因 此<$n/y<$R\Ac=;，则<$n/y<$RcA，因此x2mA。因此，R0 0 <$R0 0<$A<$A。我们可以证明L8和U8是一样的.我们将给出下面的例子来证明根据定义5.1，L8和U8不成立，当R是一个自反传递的集合关系时。H实施例5.2.设R={（3/a，3/a）/9，（2/b，2/b）/4，（4/c，4/c）/16，（5/d，5/d）/25，（3/a，2/b）/6，（4/c，4/d）/16}是m集M={3/a，2/b，4/c，5/d}上的一个互反互递m集关 系 . 则<$3/a<$R={3/a ， 2/b} ，<$2/b<$R={2/b} ，<$4/c<$R={4/c ， 4/d} 和<$5/d<$R={5/d} 。如 果A={3/a，5/d}，则R00（A）={1/d}，R0 0R0 0 AAAF4=c; 5=dg，henceR0 0R0 0 AAA。同样如果A={2/b，4/c}，然后R00Af3=a; 2=b; 4=c; 4=dg，R00R00Af3=a; 2=bg，因此A<$RRA。5.4号提案 对于非空mset M上的任意自反且传递的mset关系R和任意AcM，根据定义5.1，性质U9和L9成立。我的天（U9）首先，从（U5和U7），我们得到yR\An;和 n/y 日电美国 x2mR00A和x2mR00B的nd所以x2mR00A\R0 0B因此，我们认为，R00A\BR00A\R00B。（ U5 ） 设 AcB 和 x2mR00<$A<$ ， 则 存 在 y2nM ，的x2mn/yR，n/y然后n/y<$R\Bn;，因此x2mR0 0 <$A<$。因此，R00R00.我们可以证明L1-L5与U1- U 5相同.R00AR00R00A。其次，假设x2mR00<$R00<$A<$0，则hm=xiR\R0 0<$A<$- ;，存在y 2 m M使得y 2 n <$m / x <$R和y 2 n R 0 0 <$A <$，因此通过传递性我们得到<$n / y <$R c <$m / x <$R和<$n / y <$R \ A <$，则x 2 m R 0 0 <$A <$。因此，R0 0<$R0 0 <$A<$$>R0 0 <$A<$。我们可以证明L9和U9是一样的.H表2依赖于R的性质的粗糙集性质的比较叉号（·）表示满足属性。第一列包含粗糙集的属性列表。接下来的五列是粗糙mset，分别定义为任何mset关系，自相关mset关系，容差（自相关和对称）mset关系，优势（自相关和传递）mset关系和等价mset关系。财产任何关系重新开始。托勒多明Equiva。L1·····L2····L3·····L4·····L5·····L6·····L7·····L8·L9·····L10·U1·····U2····U3·····U4·····U5乐队·····U6·····U7·····U8·U9·····U10·陆·····多重集的拓扑逼近131ð ð ÞÞ ð Þð 联系我们联系我们2（）第二个表4对象/属性的1一个2一个3O1111O2121O3332O4111O5222O6121O7332O8222O9111O10121O11332O12121O13332O14222O15332在表3中，我们总结了上mset近似算子和下mset近似算子的上述定义的性质以及mest关系的性质6. 说明性示例我们将给出下面的例子来证明根据定义5.1，L9和U9不成立，当R是一个自反对称的集合关系时。实施例5.3.在示例3.3中，如果A={4/c}，则R00A2=b; 4=cR00R003=a; 2=b; 4=c，因此R00R00A00A. 此外，若A={3/a，2/b，5/d}，则R00（A）={3/a，5/d}和R00（R00 （A） ）={5/d} ，因此R0 0 （A） 6<$R0 0 （R0 0（A））。5.5号提案对于非空mset M上的任何等价mset关系R和对于每个AcM，根据定义5.1，性质U 10和L 10成立。证据（U10）设x2mR00 <$R00<$A<$m，R等价，则存在y2nM，使得y2n<$m/x<$R\R00 （A）n;和y2nR00 （A），hencey2nR00Ac，所以 的则x2mR 00 <$Ac<$，因此x2R0 0（A）.因此，R0 0<$R0 0 <$A<$A <$<$R0 0 <$A<$。我们可以证明L10和U10是一样的.H备注。当R是自反的时，则性质L8和U8在mset近似的定义5.1中成立，但在[4]中的集合近似的定义3.4中不成立。定理5.1. 若R是M上自反传递的mset关系，则定义5.1中的上下mset逼近对是满足M-拓扑空间公理的内部算子和闭包算子对。为了说明，我们在下面给出一个简单的例子，其中大多数定义给出了不同的结果。 考虑对象集合M={01，02，03，.. . ，O15}和属性集X ={a1，a2，a3}。每个对象Oi相对于属性aj的值由下式给出：其中k 2 {1，2，3}，i 2 {1，2，. . ，15}，并且j2{1，2，3}，如下表4所示。假设x1=O1=O4=O9，x2=O2=O6=O10=O12，x3=O3=O7=O11=O13=O15，x4=O5=O8=O14，则我们有一个msetM= {3/x1，4/x