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可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记326(2016)51-72www.elsevier.com/locate/entcs基于反应模型的复合着色Petri网Diana-Elena Gratie1计算生物模型实验室,图尔库计算机科学中心,图尔库大学芬兰图尔库摘要模型优化是模型构建过程中的重要步骤。对于基于反应的模型,数据细化包括在细化模型中用一个物种的几个变体替换它。 我们讨论本文讨论了用Petri网实现数据精化,使得模型的大小(在位置和转换的数量)不会增加。通过引入一类新的Petri网--组合Petri网(CompositionPetrinets,ComP-nets)及其着色Petri网,着色组合Petri网(ComCP网)。给定一个具有已知组成结构的基于反应的模型,表示为ComP-net,我们提出了一种构建ComCP-net的算法,该算法实现了模型的数据细化,并具有与初始ComP-net相同的网络结构。关键词:组合Petri网,组合着色Petri网,组合结构,基于反应的模型,数据精化。1引言模型代表了真实系统的抽象,它捕获了系统的一些最重要的行为属性。基于对物种间相互作用的系统级理解,可以将生物系统抽象为一组生化反应。动力学被捕获在反应的动力学速率常数中。动力学模型的最繁重的计算活动之一是参数估计。通常在模型构建过程中,人们从系统的抽象开始,随后以逐步的方式进行细化,以包含更多的细节。这种细化可以以定量正确的方式进行,确保在每一步都保持模型拟合。有几种方法1电子邮件:dgratie@abo.fi2电子邮件:cgratie@abo.fihttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2016.09.0181571-0661/© 2016作者。出版社:Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。52D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)51为了获得更详细的模型,同时避免(至少最初)所有新引入的参数的参数估计步骤,在文献中讨论了重复使用先前计算的参数,参见[9,2,7,17]。在本文中,我们将考虑[5]中定义的数据细化概念着色Petri网是一种可编程的高级Petri网,它结合了Petri网的建模能力和编程语言的能力。它们允许使用数据类型和参数化,通过使用颜色集(数据类型)和变量,参见[11]。 颜色可以使用以更紧凑的形式描述系统,例如,通过将具有不同参与者的两个相同子系统表示为单个子系统,其中每个元素被分配了具有两种颜色的颜色集(每个子系统一种颜色)。它们也可以通过改变颜色集来实现系统的细化,这个过程称为类型细化,参见[15]。[6]中提出了一种使用着色Petri网的类型精化来实现模型的结构精化的方法我们使用Petri网的框架表示模型,我们扩展它与一个被动的一部分,以编码的组成元素在建模系统中发挥作用。我们通过类型细化在扩展框架中实现模型的结构细化。因此,我们的精化方法不同于[21]中讨论的过渡精化或[20]中讨论的过渡/位置逐步精化在本文中,我们专注于定性Petri网,因为目标是引入一类新的Petri网,适用于模型的自动化结构细化。关于连续和随机方法的特殊性超出了本文的范围。我们考虑标准Petri网作为起点,而不是有色Petri网(尽管最近一本关于Petri网的书[18]将标记定义为几种类型的标记的多集本文的组织如下:在第2节中,我们详细介绍了结构模型细化的概念,如[4,5]中所讨论的。在第3节中,我们介绍了具有组合部分的Petri网的概念,它不仅可以捕获模型的功能,还可以捕获其元素之间的组合关系。首先介绍了合成Petri网(ComP-nets),然后给出了将一个给定的ComP-nets着色为着色合成Petri网(ComCP-net)的方法。接下来我们将在第4节讨论如何将基于反应的模型实现为Com(C)P-nets。我们在第5节中详细介绍了使用ComCP网进行模型精化的实现,并在第6节中得出一些结论。2模型改进在本节中,我们给出了基于反应的模型的形式定义,已知其物种的组成。然后,我们介绍这些模型的数据细化,在[4]的精神,但与原子和细化物种之间的明确区别,首先在[5]中提出D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)5153Σ11直觉上,基于反应的模型由一组反应组成,通常表示为给定物种集合上的重写规则。例如,考虑以下化学反应:2 H2 + O2→2 H2O。(一)在本文中,我们区分了原子种类和复杂种类,就所考虑的模型而言,原子种类我们依赖于多重集来编码反应两侧物种的线性组合,以及表示复杂物种的组成。我们用++表示多集加法,用++表示重复多集加法。定义2.1 [1]设S ={s1,s2,. . }是元素的集合。 S上的多重集是一个函数σ:S→N,它将S的每个元素s映射成一个非负整数σ(s),称为s在σ中的重数(或实例数)。多集σ可以也可以写成:σ=++<$σ(s)<$s = σ(s)<$s ++ σ(s)<$s ++. 、2 2s∈S其中,在右手侧可以省略零系数项当σ(s)>0时,我们说σ包含s,并记为s∈σ。此外,对于S上的任何两个多集σ,τ,我们定义它们的和为多集σ++τ:S→N满足(σ++τ)(s)=σ(s)+τ(s),对任意s∈S. 一组所有S上的多重集记为SMS。我们现在回到我们的示例反应(1),并将其形式化为已知其物种组成的基于反应的模型。我们认为原子种类是氢原子和氧原子,记为Γ ={H,O}。复合物是氢、氧和水分子,并被编码为在Γ上的多重集合,以产生复合物集合Δ ={ 2<$H, 2<$O,2<$H ++ 1<$O}。然后,给定的反应变成对应于各自的化学计量系数的一对多组2 <$(2 <$H)++1 <$(2 <$O)→ 2 <$(2 <$H ++ 1 <$O)。(二)注意,原子性是相对于所考虑的模型而言的,更确切地说,它取决于所选择的细节级别。例如,在一个更大的模型中,重点是大分子而不是原子,来自前一个反应的复杂物质可能被认为是原子。我们在下面的定义中形式化了上述基于反应的模型的直觉定义2.2一个已知物种组成的基于反应的模型是一个元组M=(Γ, Δ,R),其中:• r是原子种类的集合。54D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)51Σ.Σ• ΔΣΓ MS是一个复杂物种的集合,定义为原子物种集合Γ上的多重集合,其中直觉是任何复杂物种σ∈Δ包含至少两个原子物种的实例,即。 A∈Γσ(A)≥ 2。• R(Γ Δ)MS×(Γ Δ)MS是一组记为α→β或(α,β)的反应,其中α,β∈(Γ Δ)MS是分别对应于反应左侧和右侧的化学计量系数的多集。细化的目标是将细节引入模型,以区分给定物种的几个亚种或变体的形式。亚种之间的区别往往是由翻译后修饰,如乙酰化,磷酸化等,细胞分化,但它也可以解释不同的可能类型的特定性状(例如,在繁殖实验中动物的皮毛颜色这种类型的细化被称为数据细化,因为它专注于细化模型的物种(数据)定义2.3设Γ和ΓJ是两个拓扑空间的集合。一个函数ρ:Γ→2Γ′被称为原子细化函数,如果下列条件成立:(a) ρ(A)/=π,对所有的A∈Γ;(b) ρ(A1)<$ρ(A2)=<$,对所有的A1,A2∈Γ且A1/=A2;(c)A∈Γρ(A)= ΓJ.如果AJ∈ρ(A),则称AJ是A的原子ρ-精化注意原子细化的定义等价于[4]中对物种细化关系的定义,区别在于ρ是函数而不是关系。此外,在本文中,我们还考虑了物种的组成,在这种情况下,原子细化将在整个模型中传播,并引起所有复杂物种的细化,随后,反应的细化,遵循与[4]类似的直觉。请注意,在本文中,我们更喜欢基于多集而不是向量的公式,因为前者在Petri网的文献中更常见定义2.4设Γ和ΓJ是两个拓扑空间的集合,且ρ: Γ→2Γ′原子细化功能。(i) 一个复种群σJ∈ΓJMS是一个复种群σ∈ΓMS 的ρ - 精 化,记作σJ∈ρ(σ),如果任意种群A ∈ Γ在σ j中的重数等于它的所有ρ-精化AJ∈ ρ(A)在σJ中的重数之和,即.ρ(σ)=σJ∈ΓJMS|A′∈ρ(A)σJ(AJ)= σ(A),对所有的A∈ Γπ.给定一组复杂物种Δ< $rMS,我们将使用ρ(Δ)来指代该集合所有p-修饰的复杂物种从Δ,即ρ(Δ)=σ∈Δρ(σ)。(ii) 设ΔΣ ΓMS是一组复物种。一类物种集αJ∈(ΓJ<$ρ(Δ))MS是多重集α∈(Γε Δ)MS的ρ-加细,记作αJ∈ρ(α),D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)5155.Σ→如果在α中的任何物种S∈Γε Δ的重数等于它在αJ中的所有ρ-加样SJ∈ρ(S)的重数之和,即ρ(α)=αJ∈(Γ J <$ρ(Δ))MS|S′∈ρ(S)αJ(SJ)= α(S),对所有的S∈ Γ <$Δσ.(iii) 反应αJ→βJ是反应α→β的ρ-加细,如果αJ∈ρ(α),且βJ∈ρ(β),即ρ((α,β))= ρ(α)×ρ(β)。(iv) 设M=(Γ, Δ,R)和MJ=(ΓJ, ΔJ,RJ)是两个基于反应的模型,它们具有已知的谱组成,ρ:Γ2Γ′ 一个原子修饰函数。我们称MJ是M的结构ρ-加细,如果Δ J= ρ(Δ),且Rjr∈Rρ(r). 如果我们在后一关系中具有等式,我们说MJ是 M的全部结构ρ-精化。虽然原子细化的定义似乎暗示所有原子种类都要细化,但原子种类A的细化只有在满足以下条件时才是非平凡的:|ρ(A)|≥ 2,即A在精化模型中至少有两个不同的变量。 在 在这种情况下,每当|ρ(A)|= 1,我们会说A经历了一个平凡的原子细化(这转化为细化模型中A的重命名)。第3章含组成部分的Petri网在本节中,我们将介绍一类新的Petri网,组合Petri网。这样的网有两个部分:一个主动部分,表现为标准的Petri网,和一个被动部分,其作用是描述网络中的位置如何相互关联,即一些地方的元素如何由其他地方的元素组成。我们假设读者熟悉Petri网的概念,但我们回忆一些定义和符号,使论文自成一体。对于介绍,我们参考[19];对于最近的定义,概念,扩展和生物学应用,我们参考[18,3,13,14]。定义3.1[11] Petri网是一个元组N=(P,T,A,E,I),其中P和T分别是不相交的位置和变迁集;AP×TT×P是E:A→N+是弧表达函数(也称为权重函数);以及I:P→N是一个初始化函数,给每个位置分配一个非负整数表示那个地方的代币数量。对于一个变迁t,它的前置位置(位置p使得存在从p到t的弧)的集合用·t表示;它的后置位置(位置p使得存在从t到p的弧)的集合用t·表示。从地点p到变迁t的弧用对(p,t)∈A表示,从变迁t到地点p的弧用对(t,p)∈A表示。56D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)513.1组合Petri网在这一小节中,我们扩展了标准Petri网的定义,其中包含一个组合部分。我们通过添加一组不可触发的合成转换和将它们与网络的位置连接起来的弧来做到这一点它们的组合语义表示了表示为位置的元素的结构组成。因此,描述系统动态的Petri网模型也可以包括系统实体(物种)的组成作为子网。这在下面的定义中正式介绍。定义3.2复合Petri网(Composition Petri net,CompP-net)是一个元组N=(P,Tc,T,Ac,A,E,I),具有以下组件:(i) P,T,A,I分别表示库所集、变迁集、弧集和库所的初始化函数,与标准Petri网一样(ii) Tc是一组有限的成分跃迁,使得P<$Tc=且T<$Tc=。这些过渡用于描绘地方的组成结构相对于其他地方。组成转换永远不会触发,无论网络的标记如何,也被称为被动(非主动)转换。与此相反,常规的过渡称为活动。(iii) AcP×TcTc×P是一组复合弧,使得:• 对于任意位置p∈P,至多有一个进入的合成弧;如果没有合成弧指向一个位置,则该位置被认为是原子的;• 对于每个合成转移tc∈Tc,至少有一个输入合成弧连接一个位置,并且恰好有一个输出合成弧连接tc到一个位置;• 由合成弧以及它们连接的位置和变迁所导出的图是非循环的。(iv) E:AAc→N+是弧表达式函数,使得:• 复合弧(tc,p)(其中tc∈Tc,p∈P)弧表达式为总是1;• 从位置p∈·tc到合成转移tc的合成弧的弧表达式具有这样的含义:tc的后位置包含p的E((p,tc))个拷贝;• 规则弧的弧表达式具有通常的含义。我们称(P,Tc,Ac,E|Ac))是网络的组成部分,并且(P,T,A,E|A,I)是网络的活跃部分。这里,对于给定的集合S,E|S表示弧表达函数E对S中的弧的限制。对于ComP-网,标准Petri网的性质(例如有界性,活性,死锁,冲突,不变量,可达图)可以被推广,并且它们将仅涉及网络的活动部分。ComP-nets的优点是它们可以显式地表示系统的动态及其元素(位置)之间的组合关系注意,可能存在转移对(tc,t),其中tc∈Tc且t∈T,D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)5157R'S'·tc=·t和t·c=t·,即t和tc具有相同的前位置和相同的后位置。这可能发生,因为这种转换的语义是不同的。还要注意的是,ComP-net可能包含不参与任何活动转换的位置,但这些位置在组成上仍然很重要,因此必须出现在组成结构的位置集合中。此外,一个地方最多只能有一个传入的组成弧,这意味着它的组成结构(如果有的话)是唯一的。例3.3考虑一个模型M,它由原子种类T ={A,B,C,D},络合物种类Δ ={P,Q,R,S}和一个可逆反应P+Q j,或等价地(v i≥v j),对于所有i,j,使得i> j。定义4.3设M=(Γ, Δ,R)是一个基于反应的模型,已知其物种的组成。我们说ComCP-网N=(P,Tc,T,Ac,A,V,V,C,G,E,I)在结构上实现了基于反应的模型M,如果存在将位置实例(p,c)∈IP映射到Γ Δ中的物种的双射fP:IP→ΓΔ,将活性转移实例映射到R中的反应的双射fT:ITtrue→R,以及将组成转移实例映射到复杂物种的双射fc:ITctrue→Δ,使得:(i) 对于每一个复合转移实例(tc,b)∈ITc∈真π和每一个位置实例(p,c)∈IP,使得c出现在绑定b中,以下条件成立:• (p,tc)∈Ac惠fc(tc,b)(fP(p,c))≥1,且相应的弧表达式满足E(p,tc)<$b<$(c)=fc(tc,b)(fP(p,c));• (tc,p)∈Ac惠fc(tc,b)=fP(p,c)且E(tc,p)<$b<$=1c;(ii) 对于每一个活动转移实例(t,b)∈IT真,其中fT(t,b)=α→β,并且每一个位置实例(p,c)∈IP,使得c出现在结合b中,以下条件成立:• (p,t)∈A惠α(fP(p,c))≥1且E(p,t)<$b<$(c)=α(fP(p,c));• (t,p)∈A惠β(fP(p,c))≥1且E(t,p)<$b<$(c)=α(fP(p,c)).我们称ComCP网N为模型M的(fP,fT,fc)-实现。请注意,有多种方式将模型M表示为ComCP网,这取决于所选择的颜色集以及双射fP,fT和fc。还要注意的是,由于表征模型实现的函数的双射性,对于每一个活跃的跃迁,它认为它的每个具有真实守卫的实例代表模型中的一个反应;此外,当且仅当它编码的所有物种在所有可能的组合中都参与类似的反应时,一个位置可以编码多个物种。我们也可以用前面的定义来表述,如果ComCP网络的展开实现了一个模型,那么ComCP网络就实现了这个模型。例4.4考虑一个模型M=(Γ, Δ,R),其中Γ ={E,S,P},Δ ={ES}D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)5163使得ES= 1<$E ++1<$S,R包含反应:r1 : E + S→ES;r2 : ES→E + S;r3 : ES→E+P。M是酶促反应的模型,我们接下来证明ComCP-netN图2b中表示的实现了它。N的位置实例是IP={(E,e),(S,dot),(P,prot),(ES,1 <$e ++1<$dot)}。可能的活动转换实例包括:IT={(t1,v1= dot,v2= e,v3= 1<$e++1<$<$dot),(t2,v4= 1 <$e ++1<$dot,v5= dot,v6= e),(t3,v7= 1 <$e++1 <$dot,v8= e,v9= prot)}。唯一的被动转换实例是ITc={(tc,n u1=dot,u2=e n)}。存在满足定义4.3中条件的双射fP、fT和fc。我们在这里详细说明这些功能的定义。地点到物种函数fP定义为fP(X,col(X))=X,其中X是N的地点,col(X)是它的颜色(注意每个颜色集只有一种颜色),X是它所代表的同名物种向复杂物种功能的组成转变定义为f c(tc,u1= dot,u2= e)= ES.很容易注意到fc的要求已经满足。向反应函数的过渡定义为:f T(t1,v1= dot,v2= e,v3= 1 <$e ++1 <$dot<$ )= r1; f T(t2,v4= 1 <$dot ++1 <$e,v5=dot,v6= e <$)= r2; f T(t3,v7= 1 <$dot ++1<$e,v8= e,v9= prot <$)= r3.再次,满足了弧存在的条件及其表达式。例4.5考虑一个模型M,它由原子种类Γ ={A,B},复合种类Δ ={C,D,E}组成,64D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)51C= 2›A;D= 1<$A ++1<$B;E = 2 ›B。反应集R={ 2A→C,A +B→D, 2B→E,C +E→ 2D}。这个模型可以用图3中的ComCP-net来实现。D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)5165{→ }CS A一2`a2`a{a,a}{a,CS CC1`a1`a{a,a}CS DD2`{a,b}1`b{a,b}{a,1`b2`b{b,b}CS BB2`bCS E{b,b}E{b,b}图三. 将示例模型表示为ComCP网。 该模型由反应组成2 AC、A + BD、2 BE、C + E2D.圆圈代表地方;实心正方形表示主动转换;虚线正方形表示被动转换;实心箭头表示弧;虚线箭头是在一端连接到被动转换的弧。 一个地方的颜色集的名称是下一个斜体文本去一个地方 圆弧顶部的文字是圆弧表达式。 所有颜色集只有一种颜色,在arc表达式上使用Snoopy生成的图[8]。4.3从ComP网到ComCP网在下面,我们给出一个算法,用于对ComP-网进行着色以得到相应的ComCP-网,算法1。我们称所得到的ComCP-网为给定ComP-网的自然着色。 图2b中的ComCP网络是一个自然的例子。颜色每一个对应于原子种类的位置都得到一个只有一个元素的枚举颜色集作为颜色集,每一个对应于复杂种类的位置都得到一个所有组成成分的颜色的可能多重集的集合作为颜色集,每个颜色集的次数与组成弧的次数一样多。 在构建的ComCP网络中,弧表达式为每个遍历弧的标记使用一个变量,这样我们就不会限制自然着色。所有的守卫都被设置为true,因为所有的颜色集都只有一种颜色,因此不可能存在多个绑定,这些绑定的计算结果都是同一个彩色标记的多集66D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)51Σ←算法1ComP到ComCP输入:ComP-netN =(P,Tc,T,Ac,A,E,I);输出:ComCP网络NJ=(P,Tc,T,Ac,A,N,V,C,G,EJ,IJ);一曰: 过程ASIGN CS(p)d指定位置p2:T p←·pTc;3:如果Tp=d p,则d p是原子位置4:C(p)←新的具有一个元素的不同颜色集合5:返回6:如果结束7:tc←Tp中的一个值;8:对于所有q∈·tcdo9:如果C(q)=NIL,则ASIGN CS(q);10:如果结束11:结束12:CSp++q∈·tc13:←CSp;14:C(p)←CSp;15:结束程序十六:十七: ←十八: V←;十九:二十: 对于所有p∈P,21:C(p)←NIL;22:结束E(q,tc)`C(q);二十三: 对于所有p∈P,d分配颜色集二十四:ASIGN CS(p);25:结束二十六:二十七: 对所有的a∈A<$Ac d,指定弧表达式28:p←与弧a相连的地方;29:VJ←VidVJ存储在弧表达式中使用的变量30:对于所有i←1到E(a)做31:创建变量va,i:C(p);32:VJ<$VJ<${va,i};33:结束34:EJ(a)←++Jv∈V ′v;35:V←V<$V;D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)5167第36章:结束68D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)51算法1(续)ComP至ComCP三十七: 对于所有t∈Tc∈T dd转换保护都设置为真38:G(t)←true;第39章:结束四十:四十一: 对于所有p∈P,d 指 定 初 始 标 记 42 : IJ(p)←I(p)`C(p)[0];d颜色集合C(p)43:结束,四十四:45:NJ=(P,Tc,T,Ac,A,N,V,C,G,EJ,IJ);returnNJ;当然,有多种方法可以对给定的网络N进行着色。我们在这里为每个原子元素选择了不同的颜色集合,这样每个元素都可以通过它的颜色集合来识别。此外,我们选择了基于多集的复杂元素的表示,因为这允许在不改变网络实现结构的情况下实现网络的细化在算法中,我们假设网络是定义良好的,并且合成位置是恰好一个合成转换的后位置。在初始网络和最终网络中,位置、合成转换、转换、合成弧和弧的集合是相同的。对于没有输入合成弧的位置,颜色集合的集合包含具有一种颜色的颜色集合,并且对于具有输入合成弧(tc,p)的位置p,颜色集合是来自tc的前置位置的颜色集合的所有颜色的多集合的集合,其次数与从前置位置到tc的弧的弧表达式的值一样多。Arc表达式为每个彩色标记使用不同的变量。我们这样做是为了不限制自然着色,并允许进一步扩展它。转换保护都设置为true;不需要排序,因为每个颜色集只有一个元素。不难看出,如果算法的输入是一个Comp-net,a(fP,fT,fc)-反应网络M=(r, Δ,R)的实现,则输出是结构上实现M的ComCP-网。5用ComCP网实现数据精化着色Petri网可以用于以紧凑的方式实现模型的细化,如[15,5,6]中所讨论的。我们在这里提出了一种算法方法,用于使用其ComCP网络表示来实现模型的结构细化。我们的方法与[6]的方法不同,通过从一个原子位置到通过成分转换连接到它的所有位置的细化自动传播。我们考虑着色Petri网的类型精化,即网络中某些位置的颜色集的精化,参见[15]。两个有色Petri网之间的态射捕获类型细化,如果它不引起结构的变化D.- E. 格拉蒂角理论计算机科学中的免费/电子笔记326(2016)5169→的颜色,并且结果网络中的颜色是一致的子类型。也就是说,细化将细节添加到颜色集合,使得所得到的颜色集合可以被投影到初始颜色集合上。定义5.1我们说一个ComCP-netCPJ是一个ComCP-netCP的类型加细,如果两个网络的组成部分是同构的,并且在它们的活动部分之间存在一个类型加细态射对于一个给定的模型M=(Γ, Δ,R),用自然着色表示为ComCP网N=(P,Tc,T,Ac,A,V,C,G,E,I),假设其中一个原子种类S∈Γ需要被精化(即,在整个模型中替换为它的几个变体)。设γ是S可以被替换的这种变体的数目。我们构造一个ComCP网NJ=(P,Tc,T,Ac,A,NJ,V,CJ,GJ,EJ,IJ)作为N的类型(颜色)细化。算法2中给出了实现该细化所需的步骤序列,并在此进行了简要解释通过向q的颜色集合添加更多颜色来反映ComCP网络NJ中的位置q的变化。 这可以通过添加一个属性
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