埃及数学学会：微极涡流体的混合对流及非定常拉伸面的研究

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，385埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章微极涡旋流体的混合对流有粘性耗散的非定常拉伸面Mohamed Abd El-Aziz*Helwan University，Faculty of Science，Mathematics Department，P.O.Box 11795，Cairo，Egypt收稿日期：2012年11月15日;修订日期：2013年1月22日;接受日期：2013年2月20日2013年4月18日在线提供本文分析了粘性不可压缩微极流体在加热垂直表面附近的非定常混合对流换热，当浮力对换热有辅助或对抗作用时，存在粘性耗散。借助于适当的变换变量，研究了从拉伸表面开始的流体流动和随后的热传递。详细研究了控制参数对流动和传热特性以及局部表面摩擦系数、壁面偶应力和传热率的影响。数学潜规则分类：76A05、76D10、76E06？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍近年来，微极流体理论受到了广泛的关注，因为传统的牛顿流体理论不能精确描述悬浮粒子的微极微极流体服从所考虑的非牛顿流体模型的本构方程。在微极流体模型中，除了经典的速度场外，还引入了微转动矢量和回转参数，以研究微转动的运动学。这种流体模型可以用来解释*电话：+20 223715874。电子邮件地址：m_abdelaziz999@yahoo.com。同行评审由埃及数学学会负责胶体溶液、液晶、具有添加剂的胶体、悬浮液、动物血液等。特别是在气体中的灰尘或烟雾的存在微极微流体不同于其他微流体，它的微结构属于一类应力张量不对称的微流体。物理上，它们代表由悬浮在粘性介质中的随机取向的颗粒Eringen[1，2]首先提出的微极椭球理论能够描述这种椭球。该理论考虑了微结构的局部效应和微流体单元的这是一种连续介质力学，许多经典的湍流正被重新检验，以确定流体微观结构的影响[3沿着这些路线的早期研究可以 在 Peddieson 和 McNitt 的 评 论 文 章 中 找 到 [6] ， 以 及Lukaszewicz[7]和Eringen[8]最近的书中。本文研究了在连续拉伸薄板驱动下，静止牛顿流体和非牛顿流体的边界层流动和传热。1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.02.010制作和主办：Elsevier关键词微极流体;非定常湍流;拉伸表面;混合对流;传热;粘性耗散386M.阿卜杜勒·阿齐兹ODVDEDtmm.2M12Σ在许多工业工程过程中具有重要意义，例如从模具中连续挤出的聚合物片材的拉伸，金属板在浴中的冷却，塑料片材的气动挤出，铜线的连续铸造，轧制，退火和镀锡，电线和纤维涂层等。Sakiadis[9]是第一个研究由于表面在静止的流体中以恒定速度运动而产生的湍流场的人。从那时起，在文献[10-28]中上述研究涉及仅由连续拉伸片材驱动的半无限流体层中的稳定湍流、热量和质量传递。然而，由于表面速度或温度（热流）的脉冲变化或由于它们随时间的变化，速度场和热场将变得不稳定。由于不可能保持定常状态，因此研究拉伸表面上的非定常湍流也是重要的。由单的脉冲拉伸引起的波问题已经被许多作者研究过[29Ellingbeshy和Bazid[33]研究了非稳态拉伸表面上的流动和传热问题。最近，Abd El-Aziz[34-最近，Bachok et al.文[37]研究了非定常边界层流动和热传导的相似解。在实际应用中，通过静止的流体运动的连续材料上的湍流由固体材料的运动和热浮力引起。因此，这两种机制，表面运动和浮力，将决定的动量和热输运过程。 在某些情况下，由于连续移动表面的加热或冷却而产生的热浮力可能会显著改变流场和热场，从而改变制造过程中的传热行为。此外，由于电子学、核能和空间技术的最新进展，非牛顿流体的浮力诱导湍流的研究仍然是人们感兴趣的一个主要领域。一些重要的实际应用涉及海洋环境污染的预测，因为它对冷却速率有直接的影响，并且必须小心地使用最佳拉伸速率，否则突然的拉伸可能破坏最终结果所需的性能。通过在微极流体中拉伸连续的条或膜，可以控制冷却速率，从而赋予最终产品一些期望的特性。2. 分析微极微流体理论的公式是由Eringen[1，2]提出的，矢量场的控制方程如下[7]：@q@t·qV01qDt¼-OpjO×x-ljO×O×Vk2ljqjDx¼jO×V-2jx-cO×O×xabcqDt¼pO·VqU-O·q4V哪里qU<$kO·V22lD2：D4j2O×V-VamO·xcOx：OxbOx：OxT5这里，D/Dt是材料的时间导数，U是每质量单位的机械能的耗散函数，D表示变形张量，其中D/1<$Vk;l<$Vl;k<$;E是比内能，q是热通量，q是流体的密度V是速度矢量，x是微旋转矢量，p是热力学压力，f是体积力矢量，j是微惯性密度，l是体力偶矢量，l是动力粘度，k是二阶粘度系数，j是涡旋粘度（或微旋转粘度）系数，am，bm，c分别是自旋梯度系数给出应力张量skl和偶应力张量Mkl的本构方程由下式给出大气，湖泊中的热分层，以及发展-化工加工设备的安装和设计最近，skl 1/4-pkVr;r格拉德山阿尔布费拉k;l Vl;k吉 吉夫 l;k-SKLM xmMukhopadhyay[38]研究了热辐射对多孔介质中多孔拉伸表面上的非稳态混合对流换热的影响。本文研究了微极流体在考虑浮力作用下沿纵向拉伸片的非定常边界层流动和传热特性。该研究可应用于涉及塑料片材拉伸的聚合物技术。许多冶金工艺涉及通过将连续带材或坯料拉过快速冷却液来冷却连续带材或坯料。在拉伸的过程中，带材有时会被拉伸.在这种情况下，最终产品的质量在很大程度上取决于冷却速率和拉伸速率。选择合适的冷却液至关重要Mkl¼amxr;rdklbmxk;lcxl;k其中dkl和eklm分别是度量张量和协变e符号材料常数必须满足由Clausius-Duhem不等式导出的以下不等式3k2ljP 0;2ljP 0;jP03ambmcP0;c>jbmj：等式（1）-我们注意到，对于j=am=bm=c=0并且使l和f为零，微旋转x变为零，并且等式（1）为：（2）简化为经典的Navier-Stokes方程。我们还注意到，对于j=0，非定常拉伸表面上微极流体粘性耗散的混合对流387ð - Þ0000-XW@tu@xv@y1/4r@y2-j2N/y@tu@xv@ya0@y21Uw（x，t）@u@u@u 。lj@2uj@N@tu@xv@y¼q@y2q@ygbT-T19.@N@N@N@2N。@u@T@T@T@2T. 我的天。@u2qcp@y槽图1物理模型和坐标系的示意图。速度V和微旋转x不耦合，并且微旋转不影响全局运动。考虑粘性不可压缩微极流体在弹性、垂直和不可渗透的拉伸薄片其中u和v分别是沿x轴和y轴的速度分量，T是流体温度，N是垂直于x-y相关的边界条件为u<$Uwx;t;v¼0;N¼0;T¼Twx;t在y 1/40处;u！ 0; N！ 0; T！ T1在y！1ð12Þ为了继续，我们引入以下转换变量：gr;w<$rmaxfg1 3它从一个鼻孔垂直向上伸出[39]第三十九话m1atsa31-atBXUw x; t1-at;6其中a和a都是正常数，单位时间的维数。物理模型和坐标系的示意图如图1所示。正x坐标是以槽为原点沿拉伸片材测量的，正y坐标是在朝向流体的向外方向上垂直于片材测量的。拉伸片的表面温度Tw随距槽的距离x和时间t的变化为[40]N¼m1-at3xhg;T1/T2/T3/T4/T5/T6/T7/T8/T9/T8/T9ð1 4Þ其中w（x，y，t）是自动保证质量守恒的物理流函数（8）。速度分量容易获得为：u/l@w=@y/lUwf0μg/l;v¼-@w=@x¼-rmafg15在Eqs中定义的数学问题。 （9）bxTwx;t¼Tþð1—atÞð7Þ转化为一组常微分方程及其相关的边界条件：其中，b是尺寸温度随长度变化的常数，m是周围流体的运动粘度这里容易注意到，等式2中的Uw（x，t）和Tw（x，t）的表达式1一一-22fgfDhnh0 16（6）和（7）仅对时间ta-1有效，除非a=0。< 纸张的速度Uw（x，t）的表达式（6）表示：k0h00fh0-f0h-2小时3小时4小时0小 时 -DB小时2小时4小时0小时1小时固定在原点的弹性片通过在正x方向上施加力而被拉伸，并且有效拉伸速率a/（1-Δt）随时间增加。用同样的类比，表面温度Tw（x，t）gi的表达式1h00fh0f0hPR和一-2小时4分钟gh0E c1Df002<$018Eq. （7）表示这样一种情况，其中如果b与x成比例地从槽处的T1开始为正（负），则板温度增加（降低），并且使得沿着板的温度增加（降低）量随时间增加。假设辐射效应被忽略能量方程。进一步假定，在浮力项中，除密度随温度变化外，其余的流体性质均取常数。然后在这些假设下，二维边界层方程可以写成：@ u@ vf=0;f0001;h=0;2019- 01-2900：00：00f00 1 1 10;h=100;h1102其中素数表示关于g的普通微分， A=a/a是非定常参数，h=（T-T1）/（Tw-T1）是无量纲温度，D=j/l是微极参数 ， n/4gb b=a2/4Grx=Re2 是 混 合 对 流 或 浮 力 参 数 ， 其 中Grx=gb（Tw-T1）x3/m2是局部Grashof数，Rex=Uwx/m是基于片速度Uw（x，t）的局部雷诺数，k0=c/lj和B=m（1-at）/jb=mx/jUw是@x@y<$08无量纲参数，Pr=m/a是普朗特数并且Ec^U2=cp^Tw-T1^是埃克特数。u0冷却流体Tw（x，t）xGy1-at2QJð10Þð11Þ388M.阿卜杜勒·阿齐兹11XX2ðþÞ1 11第十章 þðÞ---h0035k024251 52 4567672672 617w13.ΣΣ2- 是的Σ应注意，当n>0（ Tw>T1）时，浮力作用于主流方向，并且以有利的压力梯度（辅助浮力）方式加速主流当n<0（TwT1）时，浮力对抗拉伸引起的湍流，阻碍边界层中的湍流，作为逆压力梯度（对抗湍流）。<此外，根据粘性耗散参数的定义，在辅助气流（n>0）的情况下Ec>0，在反向气流（n0）的情况下Ec<<从工程的角度来看，最重要的特性是局部表面摩擦系数Cfx、局部壁面力偶应力Mwx和局部NusseltNux，分别由下式定义：两点边值问题为了数值求解这些方程，我们采用了最有效的数值打靶技术和五阶Runge-Kutta-Fehlberg积分格式 。 在 这 种 方 法 中 ， 最 重 要 的 是 选 择 适 当 的有限g值。. 为了选择g1，我们从一些初始猜测值开始，并使用一些特定的参数集来解决问题，以获得f0 0（0），h0（0）和h0（0）。 用另一个大的g1值重复求解过程，直到两个连续的f0 0（0），h0（0）和h0（0）的值仅在表示沿g的边界的极限的所需数字之后不同。选择g 1的最后一个值作为该特定参数集的极限g f的适当值。三个常微分方程（16）（CFX21/4qU2½lj@u=@yy0阿吉·恩扎y¼0[1/2/1]D=Re-1=2f00/0/2/1根据叠加法，将其模拟为一组七个未知数的一阶联立方程[43]。M1/4c.@N1/4caUw h0022因此，我们设置y1=f，y2=f0，y3=f00，y4=h，y5=h0，y6=h，wx@yy¼0m1-aty7=h0，方程（16）xNux¼ -T-T@T@yy¼0¼-Re1= 2h0023微分方程，即，y01¼y2;y10¼0值得一提的是，当n = D = Ec = 0时，等式（1）（16）─（18）在目前问题中，y02¼y3;y20¼11 1y0¼Aygyy-y yy323— Dy — nyn;[41]当n=1，c=2，K=-A时，A = D = Ec = 0，等式（16）-[2018 - 12- 18][2018 - 09 - 18 00：01： 00][2018 - 01：00][2018 -01：00]1天2天y0.000d21 3 5 6n= 1. 在他们的报纸上。此外，当D = 0（牛顿流体）时，A=0（稳态对流），n=0（强制对流），无粘性耗散（Ec=0），方程（16）y04¼y5;y40¼013 1y0¼Aygyyy— yyD B2 y— 3岁以下;本文的问题归结为Grubka和Bobba[15]在他们的论文中c=1的 对于这种情况（A=D=n=Ec= 0），等式（16）具有封闭形式的解y5200升/升d2y0y;y01fg1-e-g24y0¼1PrA4ygyPryy— yy-PrEc1Dy;而Eq. （18）在库默尔的功能方面y72014d3M2; Pr 1; Pre-ghge1-g-e-gPr其中d1，d2和d3被确定为满足y2（1）= 0，y4（1）=0和y6（1）=0。采用打靶法对d1，d2，d3进行猜测，直至边界条件其中M（a，b，z）表示连续超几何函数[42]，如下：满足y2（）=0，y4（）=0和y6（）=0。然后，所得到的微分方程可以通过五阶积分，1nRunge-Kutta-Fehlberg积分格式。上述过程-M a;b;z1anz;26nnn n！重复这个过程，直到我们得到的结果达到所需的精确度10-6。哪里an <$aa1a2···a n-1;bn <$bb1b2···b n-127鉴于Eqs. （24）和（25），表面摩擦系数以f0 0（0）表示，局部努塞尔数以h0（0）由下式给出：f0001/4-1284. 结果和讨论为了验证本研究中使用的数值方法，将牛顿流体（D=0）的传热速率h0（0）的结果与Grubka和Bobba [15]，Ishak等人[44]以及[45]中报道的精确解（A= 0.0，1.0和不存在粘性耗散（Ec = 0）的各种n和Pr值）进行了比较。定量比较如Ta所示2PrM3; Pr2; Pr1.2.1.3. 数值解ð29Þ表1，并且发现非常一致。图图2 -4分别显示了在Pr = 0.72、k 0 = 0.3、B = 0.1以及浮力和不稳定性参数n和A的不同值的情况下，无粘性耗散（Ec = 0）时的轴向速度场、角速度场和温度场。对于辅助的n，即对于n的正值，它是非线性耦合微分方程组（16）-（19）和（20）构成从图2中可以看出，对于两种A值，n的增加都有在边界层中引起更多湍流的趋势。为W14非定常拉伸表面上微极流体粘性耗散的混合对流389稳定流=0.0A = 0.4最大值0.5，0，1，10表1D= Ec = 0时-h0（0）的值以及A、n和Pr的各种值与先前发表的数据的比较。-h0（0）一nPR参考文献[第十五条]参考文献[第四十四届]精确解[45]本结果000.720.80860.80860.8086313500.808731351.01.00001.00001.0000000001.000000003.01.92371.92371.9236825941.9236825510.03.72073.72073.7206739013.72067394910012.29412.294112.2940832612.294083281.01.01.08731.087278162.01.14231.142339273.01.18531.185290301.00.01.68201.681992541.01.70391.70391279-0.50.510.05.55855.56905.558507295.56899151相反的对流（n =<0），另一方面，与纯强制对流（n=0）相比，浮力的作用是降低速度。这是由于正的n引起有利的压力梯度，从而增强边界层中的流体流动，而负的n产生不利的压力梯度，从而减慢流体运动。此外，它是观察到的浮力参数的大值（n = 10）的速度过冲附近的壁超过移动速度的表。从图2中可以看出，A对轴向速度f0（g）的影响最小的情况出现在强制对流对流的情况下（n = 0），而最大的情况出现在自由对流的情况下（n=10）。 当n=10时，轴向速度f0（g）在06gg0@1.9处随A的增大而减小，<而当g> g0 时 ，轴 向 速 度 f0（g）随A的增大而增大在边界层的末端消失之前0.08H0.060.040.020稳定流A= 0.0= 0A = 0.4=1=102019年05月05日0 2 4 68此外，在反向湍流（n0）的情况下，A对轴向速度f0（g）<的影响对于g61是不敏感的，但是当g > 1时，f0（g）随着附面层厚度的增加而增加。对于辅助浮力，图3显示了在靠近片面和边界层最后部分的A值，n值的增加导致角速度h（g）值的减小，而在边界层中部，在固定的g位置，角速度h（g）随着浮力参数n的增加而增加。另一方面，对于相对的双曲线（n<图3不同n和A其中Pr= 0.72，D=0.5，k0=0.3，Ec=0和B=0.1。速度h（g）在06g<而对于g> g0，它随着角动量边界层厚度的减小而减小。 此外，对于辅助水流，浮力参数n的值增加会使角速度最大值的位置远离水面，而对于反向水流则注意到相反的趋势。从图3中可以看出，角速度的方向是负的，非常接近于1.41福什1.210.80.60.40.200 1 2 3 4 5 60.80.60.40.200 1 2 3 4 56图2在Pr = 0.72、D = 0.5、k0= 0.3、Ec = 0和B =0.1的情况下，n和A不同值时的速度分布图4不同n和A值的温度曲线，其中Pr = 0.72，D =0.5，k0= 0.3，Ec = 0，B = 0.1。稳定流A = 0.0A = 0.4最大值0.5，0，1，10390M.阿卜杜勒·阿齐兹= 1（辅助流量）==0， 1，31 1福什0.8 0.80.60.40.200 1 2 345 6 7 8 90.60.40.20 1 2 3 4 5 67图5在Pr= 0.72、A=0.3、k0=0.3、Ec=0和B=0.1的情况下，不同D和n值的速度分布图7 Pr= 0.72、A=0.3、k0=0.3、Ec=0和B=0.1时，不同D和n值的温度曲线0.28H0.240.20.160.120.080.0400 369 12 151F '0.80.60.40.20 1.5 3 4.5 6 7.5  9图6不同D和n其中Pr= 0.72，A=0.3，k0=0.3，Ec=0和B=0.1。图8不同Ec和n值的速度分布，其中Pr= 0.72，A=0.3，D=0.5，k0=0.3，B=0.1。表的浮力参数的大值（n=10）和这两个值的A，这可能是直接导致的速度过冲的f0（g）附近的表n=10。图4表明，对于不稳定性参数A的两个值，浮力参数n的影响是在辅助气流的情况下降低温度h（g此外，从图4中可以清楚地看出，热边界层厚度随着n的增加而减小。此外，浮力参数n对稳态湍流（A=0）温度分布的影响比浮力参数n对稳态湍流温度分布的影响更显著。的非稳态（A=0.4）。此外，对于给定的n，从图4中可以注意到，在反向对流的情况下，A对温度h（g）的影响比在辅助对流的情况下更明显。在没有粘性耗散（Ec = 0）的情况下，A = 0.3，k0=0.3，B = 0.1和微极参数D的不同值时，辅助和反向湍流的代表性轴向速度、角速度和温度分布如图所示。 五比七 发现对于正（辅助气流）和负（反向气流）n，轴向速度f0（g）和角速度h（g）随着微极参数D的增大而增大，而温度h（g）随着微极参数D的增大而减小，但D对速度场和温度场的影响在反向气流的情况下更为显著。当D= 0时（牛顿流体），没有角速度（h（g）=0），随着D的增加，由于涡流粘度效应，角速度大大增加，如图9所示。此外，微极参数D对轴向速度f0（g）和角速度h（g）的影响比对温度h（g）的影响更大。此外，从图中可以看出。从图5和图6中可以看出，D越小，动量和角动量边界层厚度越薄，而从图6中可以明显看出，热边界层的趋势正好相反。7.第一次会议。图图8-10是在Pr=0.72、A=0.3、k0=0.3、B=0.1和D=0.5的辅助和反向湍流的情况下，对于埃克特数Ec的各种值，速度、微旋转和温度分布与g的曲线图。是已知粘性耗散由于流体颗粒之间的阻力而产生热量，并且该额外的热量导致初始流体温度的升高（参见图10）。这种温度的升高引起浮力的增加。此外，在粘性加热和浮力之间存在连续的相互作用。这一机制在助流（上行）和逆流（下行）中产生不同的结果.在助（逆）向流中，正（负）Ec值的增加将增加向上（向下）方向的浮力，这将导致流体速度的增加， 如图 所 示。8 .第八条。的积极=1（辅助流量） = 0.5 (Opposing flow)=1， 3，5=0= 1（辅助流量）==0， 1，4= 1（辅助流量）=00非定常拉伸表面上微极流体粘性耗散的混合对流391图20.072H0.060.0480.0360.0240.01200246810图9不同Ec和n其中Pr= 0.72，A=0.3，D=0.5，k0=0.3，B=0.1。1辅助流量= 1（辅助流量）温度Tw达到最大值，然后降低到其自由流值。 应该注意的是，对于冷却液冷却情况（Ec <0），负h表示由于粘性耗散效应，实际冷却液温度T超过板处的温度。局部表面摩擦系数的典型变化以f0 0（0）表示，壁面偶应力以h0 （0）表示，传热结果以无量纲壁面温度梯度-h0（0）表示，它们是不稳定参数的函数两个代表性的微极参数D=0（牛顿流体）和D=3（微极流体）的A和浮力参数n的各种值见图1和图2。十一比十三与强制对流对流的情况相比（n=0），图11和图13表明，对于给定的A和D，局部表面摩擦系数f0 0（0）和局部努塞尔数— h0（0）在正浮力（n>0）时增大，在负浮力（n<0）时减小，而在力偶应力h0（0）的情况下则相反，如图12所示。此外，浮力参数n对牛顿流体（D = 0）的f0 0（0）和-h0（0）的影响更为显著。0.80.60.40.20简体中文=比微极胶体（D=3）的低。 从图11中可以看出，当n=10时，由于速度过冲而获得正表面摩擦系数，如图2所示。还观察到，对于所有A，局部表面摩擦系数f0 0（0）随着D的增 加 而 增 加 ， 其中n=-0.5（反向对流），n=0（强制对流）和n=1（混合对流），但当n=10（自由对流）时，情况相反。对于给定的n和D，图11表明局部表面摩擦系数f0 0（0）随不稳定参数A的增加而减小。-0.20 1 2 3 4 5 6图10不同Ec和n值的温度曲线其中Pr= 0.72，A=0.3，D=0.5，k0=0.3，B=0.1。（Ec> 0）和负（Ec <0）埃克特数分别帮助向上（n> 0，因此Ec> 0）和向下（n <0，因此Ec <0）的湍流，如图所示。8.第八条。从图中可以看出。9角速度h（g）首先在靠近薄板表面处减小，<在这里，在辅助气流的情况下，g0 =1.8，在反向气流的情况下，g0= 2.1，但在边界层的另一部分，情况完全相反，g> g0。根据埃克特数的定义，正的Ec对应于流体加热（热量穿过壁供应到流体中）的情况（Tw>T1），使得流体被加热，而负的Ec意味着流体被冷却。 从图 可以看出，无量纲温度在流体被加热时增加（Ec> 0），但在流体被冷却时降低（Ec <0）。 对于Ec <0，无量纲的流体温度h（g）随g单调减小，从壁面处的1向自由流值减小。从h的定义中可以看出，这种行为意味着实际流体温度在水平方向上从板温度Tw到自由流温度单调下降。另一方面，对于Ec<0（即Tw 0和n> 0），传热速率降低。这些行为与图1所示的无量纲温度分布的结果一致。 10，其中壁温梯度在Ec 0时增加<，但在Ec> 0时减小。此外，粘性耗散对传热的影响被认为是更显着的非定常参数A的值越高。此外，与无粘性耗散情况（Ec=0）相比，局部传热系数h0（0）在负Eckert数Ec时取较大值，而在正Ec时5. 结论本文系统地研究了考虑浮力和粘性耗散效应的粘性微极流体通过垂直拉伸表面时非定常边界层流动的力学和热学性质。通过适当的变换，将动量和热能的时变边界层方程化为耦合的非线性常微分方程组，然后用打靶法数值求解。给出了具有代表性的控制参数的速度和温度分布以及局部表面摩擦系数、总之，我们可以得出结论，1. 微极参数在对流、强迫对流和混合对流两种情况下均能提高传热速率，而在自由对流情况下则会降低传热速率2. 微极微流体仅在强制对流状态的情况下导致拉伸片材的更快的冷却速率。3. 无因次温度将在流体被加热（Ec>0）时增加，但在流体被冷却（Ec0）时降低。<当Ec为正值时，无量纲流体温度随g单调下降;当Eckert数为负值时，h先随g迅速下降，达到最小值，然后逐渐增加到自由流值。4. 微极流体的传热速率随浮力或非定常参数的增大而显著提高。5. 浮力参数对牛顿流体的局部表面摩擦系数和局部传热系数的影响比对微极流体的影响更大。6. 与Ec = 0的情况相比，局部传热系数h0（0）在负的Eckert数Ec时取较高的值，而在正的Ec时取较低的值。确认作者非常感谢审稿人为改进这份手稿的介绍而提出的令人鼓舞的意见和建设性的建议。引用[1] A.C.李文，微极流体的理论，国立台湾大学机械工程学研究所硕士论文，1998[2] A.C.热微极流体理论，数学分析。J.38（1972）481[3] 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