基于核密度估计的非刚性形状对应的产品歧管过滤器

1产品歧管过滤器：基于乘积空间核密度估计的非刚性形状对应Matthias VestnerTechnical University慕尼黑亚历克斯·布朗斯坦Roee Litman特拉维夫大学EmanueleRodola`USILugano丹尼尔·克雷默斯以色列理工学院感知计算组，以色列慕尼黑工业大学摘要用于计算可变形形状之间的对应性的许多算法依赖于描述符空间中的最近邻匹配的某种变体。例如，这些是用作功能对应框架中的后处理阶段的这种频繁使用的技术隐含地做出限制性假设（例如，近似等距），并且在实践中缺乏准确性并导致差的满射性。我们提出了一种替代恢复技术，能够guar- anteeing一个双射对应，并产生显着- cantly更高的准确性和平滑度。与其他方法不同，我们的方法不依赖于假设分析的形状是等距的。我们从核密度估计的统计框架中推导出所提出的方法，并在几个有挑战性的可变形3D形状匹配数据集上证明了其性能。1. 介绍估计3D形状之间的对应关系是计算机视觉、几何处理和图形学中的基本问题之一，具有从3D场景理解到纹理映射和动画的广泛应用。特别感兴趣的是允许对象非刚性变形在这种情况下，研究主要集中在最大限度地减少输入形状之间的失真，近年来达到了非常高的精度水平[43]。然而，逐点精确度通常受到限制要求（等距假设），或者以计算地图上缺乏有用属性为代价，即双射性（任一形状上的每个点都应该在另一个上恰好有一个对应点）和平滑性（附近的点应该与附近的点匹配）。图1. 我们的方法可以用来从最少的输入信息恢复高度非等距形状之间的稠密、平滑、双射对应在这个例子中，我们只使用两个手工挑选的匹配（尾巴和前腿上的红色球体）来初始化我们的对应的质量是可视化的颜色从马到大象通过恢复的地图。在本文中，我们介绍了一种新的方法来恢复可变形形状之间的光滑双射映射。与以前的方法相反，我们不依赖于假设这两个形状是等距的。 我们通过使用统计推断的语言来描述我们的匹配问题，而我们的算法的输入是1）逐点匹配的稀疏集合（少至两个），其被用作地标约束以恢复完整的地图，或者2）密集的、有噪声的、可能非满射的和非平滑的地图，其被转换为具有更高精度和上述属性的更好的地图。1.1. 相关作品解决对应问题的传统方法是在两个或多个形状上的点（的子集）之间找到逐点匹配。最小失真方法通过最小化一些结构失真来建立匹配，这些结构失真可以包括局部特征的相似性[32，14，8，45]、测地线[29，13，15]或扩散距离[17]或其组合[41]。通常，这种方法的计算复杂性是有限的。33273328XYX → YXYX×YODS是高的，并且已经有几次尝试使用分层[37]或子采样[40]方法来降低计算复杂性几种方法将对应问题公式化为二次分配，并采用不同的松弛方法[42，24，34，2，15，19]。这类算法通常在稀疏的点集之间产生有保证的双射对应，或者产生具有较差满射性的密集对应。嵌入方法试图利用一些假设的对应关系（例如，近似等距），以便用几个自由度参数化对应问题。Elad和Kimmel [18]使用多维缩放将匹配形状的测地线度量嵌入到低维欧几里德空间中，然后通过简单的刚性匹配（ICP）[16，10]执行所得“规范形式”的对齐。[27，38]的工作使用Laplace-Beltrami算子的本征函数作为嵌入坐标，并在本征空间中进行匹配。Lipman等人[25，20，21]使用共形嵌入到圆盘和球面中，将同胚曲面之间的对应参数化为莫比乌斯变换。尽管它们的整体性能良好，但在嵌入空间中执行的大多数匹配过程通常在精细尺度上产生噪声对应最近，在[6，5]中，作者首先计算两个形状的兼容嵌入，然后通过使用稀疏输入对应来对齐嵌入，从而获得与逐点对应方法相反，软对应方法将一个形状上的一个点分配给另一个形状上的多个点。有几种方法将软对应公式化为大众运输问题[28，39]. Ovsjanikov等人[31]介绍了函数对应框架，将对应建模为两个形状上的函数空间之间的线性算子，其在拉普拉斯特征基中具有有效的表示。这种方法在几个后续工作中得到了扩展[33，22，3，35]。逐点映射通常通过表示基中的匹配过程从函数对应的低秩近似中恢复，这也受到不良满射性的影响。第三类匹配方法将对应问题公式化为所考虑形状的乘积空间中的优化问题Windheuser等人[44]在两个输入曲面的四维乘积空间中寻找一个二维极小曲面;这后来被Laühner等人扩展到2D到3D设置。[23]第10段。 利用所考虑形状的图结构，离散化导致在产品网格上的整数线性规划，其中期望的匹配性质，如光滑性和满射性是线性约束。然而，计算的复杂性是令人望而却步的，即使是一个中等大小的问题。图2. 产品歧管过滤器（PMF）可应用于度量空间之间的双射光滑映射的各种问题。在这里，我们将2D形状（轮廓）映射到3D形状。我们初始化的PMF与两个语义意味着- ingful匹配（黑色球体），并获得一个密集的语义有意义的双射。1.2. 主要贡献上面提到的许多作品提供了一种既不是双射也不是光滑的匹配。在某些情况下，匹配仅作为两个形状的乘积空间中的稀疏点集可用。我们把这些匹配的潜在对 应 的 损 坏 版 本 ， 并 提 出 了 产 品 流 形 过 滤 器（PMF），一个框架，提高了输入映射的质量。我们表明，所考虑的过滤器导致一个线性的分配问题，lem保证双射对应的形状。尽管有共同的智慧，我们证明了这个问题是有效的解决相对密集的采样形状的方式，完善的拍卖算法[9]和一个简单的多尺度方法。不像许多前面提到的技术，假设形状是（几乎）等距，我们允许他们undergo更一般的变形（图1），甚至有不同的维度（图2）。最后，我们提出了大量的经验证据表明，所提出的平滑过程一致地提高了来自不同算法的输入对应的质量，包括从功能映射管道的逐点恢复方法。我们还显示了性能的PMF作为一个稀疏的输入correspondences的矩阵。2. 一个概率框架我们考虑一对三维形状，它们的边界和二维流形嵌入在R3中，因此配备了内在的度量dX和dY。我们的目标是找到和之间语义上有意义的对应关系。对应是一个同构π：，即，一个光滑映射和一个光滑逆映射。我们不做任何其他假设，如等距。对应关系π可以表示为四维乘积空间中的二维流形Π：一对（x，y）属于Π当且仅当π（x）=y。我们假定，真正的对应-3329XYXY联系我们--X × Y−′′ ′′′′∈ X产品介绍- −√和之间的距离π和表示它的流形Π是潜在的。让（xk，yk）k∈K ∈K ∈K∈ K是该流形的一个可能稀疏样本.例如，这些可以是上的对应点对，和计算使用特征检测器，然后是描述符匹配。在实践中，我们只能访问这些点的噪声实现，{（k，ηk）}k∈K，我们假设它允许可分离的i.i.d.。高斯密度，f（ k，ηk）K（dX（xk， k））K（dY（yk，ηk）），其中|=a，且d Y（y，y +）=|y− y+|=a + δ。|=a+δ. 为了方便起见，我们此后记为x=y=0，x±=±b，y−=−a和y+=a+δ。在这种设置中，表示乘积空间中的输入对应的一维流形包括两个连接（b，a），（0，0），d（b），a+δ），其长度为g iv en，L（b）=b2+a2+b2+（a+δ）2。PMF最大化密度函数h（y） 为 f（0，y）=K（0）K（y）+⑷K（d）=exp.d2 Σ−2σ2K（b）K（y+a）+K（b）K（y−a−δ）= K（y）+K（b）（K（y+a）+K（y−a−δ））是具有参数σ2的非归一化高斯核。注意，流形上的密度用内在度量dX和dY表示。给定的设置的嘈杂对应点（nk，ηk）k∈K作为输入，我们的目标是产生对应π的一个忠实估计。我们提出在乘积空间中通过核密度估计来估计隐流形的维数。为此，我们使用Parzen和Σ在 点 y 的 值 y 上 。 首 先 ， 我 们 观 察 到 ， 由 于 K（b）>0，h （y ∈）的全局最大值必须在y∈=0附近。F或y=0且δ=0，则有dh=K′（0）+K（b）（K′（a）+K′（a））dy和d2hdy2=K（0）+K（b）（K（a）+K（−a））f（x，y）k∈KK（dX（x，ηk））K（dY（y，ηk））.（一）由于K′（0）=0和K′（−a）=−K′（a），一阶导数消失，而K′′（0）0和K′′（−a）<=对于每个点x，π（x）的估计由点y最大化f（x，y）给出，π∈（x）=a rgmaxf（x，y）.（二）yK′ ′（a）意味着y=0是h的最大值。接下来，我们通过调用h在（δ，y∈）=（0，0）附近的一阶泰勒展开来执行上述最大化器的扰动分析：.二、二 、我们可以进一步将πι：X→Y的双射性作为嗯嗯。 ≈。好吧+y。好吧+δ。.约束，获得以下整个我的天啊y=0，δ=02002年。y=0，δ=0很好y=0，δ=0地图∫π=argmax1：1的比例ππ：X→Yf（x，π（x））dx.（三）要求等于零产生扰动问题的最大化该过程可以如图3中的一维图示所示进行迭代。步骤（2）或（3）对所述表面具有面积减小效果y≈K（b）K′′（a）δ δ=“”2K（b）K（a）+K（0）K（0）K（b）K′′（a）=cδ。流形Π产生其更规则的版本，从而产生更规则的对应π。我们将（3）解释为用于<σ分母中的比率为正，21一个过滤器的对应关系，并将在此后将其称为产品歧管过滤器（PMF）。虽然我们将面积缩减性质的严格证明推迟到扩展版本因此c∈（0，2）。可以使用一系列一阶泰勒近似来获得估计流形的长度在本文中，我们用一个简单的一维例子来说明它。L（英） 为√b2+（a+cδ）2+√X3330XY--√b2+（a+δ−cδ）2一维插图。让我们考虑三个点{x−，x，x+}的配置和相应的ACδ≈L（0）+b2+a2（a+δ）cδb2+（a+δ）2一对一维流形上的噪声点y-、y、y+，如图3所示。 我们假设这些点直接用弧长参数表示cb22≈L（0）−（b2+a2）3/2δr2X >。 . . >rpX 和∫f（x，π（x））dx=X∫X×Y f（x，y）δπ（x）（y）dydxr1Y>r2Y>。 . . >rpY，respect i vel y.对于足够大的形状，n×n成对距离矩阵DX和DY不能再完全存储在存储器中。我们遵循[4，26]，只存储投影，Σn≈i，j=1FijPji=P，F（9）后者矩阵的第一个r特征函数的拉普拉斯，导致在一个n r矩阵。原始距离按需重建，误差可忽略不计，如其中P0，1n×n是表示xin和yin之间的双射的置换矩阵。在某些情况下，使用向量表示p ∈ {1，. . . ，n}n的P. 估计双射对应-[1，26]。我们递归地将PMF的变体应用于通过较粗尺度获得的稀疏输入匹配集：因此，在（3）中的证据证明是线性分配问题。形式的lem（lem）Pi+1=arg3332maxn2P∈{ 0， 1}i+1中国（11）3333一期+12KXY∈XYFF联系我们图4. 我们的方法发现非等距形状之间的光滑双射映射，即使当一个单一的匹配作为输入（标记为红色小球）。请注意，即使初始匹配错误（最右侧的列），贴图也保持平滑。哪里Σni初始匹配的集合反过来，这些可以通过稀疏非刚性匹配技术（如[34]）获得，或者根据应用进行手工挑选。在这些实验中，我们比较了PMF和最近在[5]中引入的Tutte嵌入方法。类似于PMF，这种方法从稀疏的逐点匹配集合开始产生有保证的双射和平滑映射;据我们所知，该方法代表了这类问题的最新技术水平。该比较的结果示于图5中。输入匹配是通过将最远点样本经由地面实况对应映射到参考形状上而获得的，并且通过经由恢复的密集图将纹理从参考转移到目标而可视化。从图中可以看出，当匹配Fi（s，t）=W（s，t）k=1KX（s，k）KY（t，pi（k））。（十二）作为输入提供，并且当更多匹配可用时，地图的质量相当。重要的是要注意加权矩阵W 0，1（n2×ni）确保xi附近的点xs的图像被约束为映射到p（k）附近的点，反之亦然（即，匹配及其逆应该是平滑的）：W（s，t）=（ 13）虽然我们的方法仍然能产生有意义的解决方案当仅给出一个或两个匹配作为输入时（参见图1，4），[5]的方法具有五个匹配的理论最小值;此外，后一种方法根据输入的特定顺序给出不同的解最后，正如我们在下一节中所展示的，我们的方法是能够恢复正确的地图，0 如果k=DX（s，k）ri且DY（t，pi（k））>2ri，如果Dk：DY（t，pi（k））2riX，则为01其他这种构造导致对应于更小的可行置换空间的稀疏支付矩阵，从而可以有效地求解相应的问题。注意（13）中的因子2。由于我们不能保证两个形状上的Voronoi单元具有相同数量的点，并且我们希望能够从较粗的尺度中去除误差，因此我们允许将点移动到相邻的Voronoi单元。3. 实验虽然我们的方法可以应用于针对度量空间之间的双射和光滑映射的各种问题（参见图2的极端情况），但这里我们关注非刚性和可能非等距3D形状之间的对应关系的恢复。 我们表明我们的方法在两个非常不同的sce中的性能噪声输入，而Tutte方法需要精确的输入。3.2.从噪声输入中在这组实验中，我们假设根据函数映射给出潜在对应P的低秩近似C=PΦ ∈ Rr×r，（14）其中Φ，<$Rn×r是和上的截断正交基。我们建议读者参考原始文件[31]的细节，并允许我们自己将其思想浓缩到以上方程式虽然在过去的几年中已经提出了多种方法来寻找C，但目前只有三种方法可以从中恢复逐点对应关系。在[31]中，作者提出通过解决最近邻问题（NN）Narios，即噪声密集对应的细化和稀疏对应的完成。我们另外minP∈{ 0，1}n×nCΦT−S. t. PT1= 1。（十五）通过恢复高分辨率形状之间的双射对应来展示我们的多尺度技术的性能。与C的正交性强化细化交替（国际比较方案）。一个变体是它的双射版本（Bij。NN）33343.1. 从稀疏对应中恢复在我们的第一组实验中，我们考虑一种情况，其中输入形状带有（可能非常稀疏）minP∈{ 0，1}n×nCΦT−S. t. PT1 = 1，P1 =1。（十六）33353510参考文献[5]我们的[5]我们的[5]我们图5.我们的方法和[5]的方法在输入匹配数量增加时的比较（在顶部报告）。这两种方法都产生光滑的、有保证的双射解;我们的方法需要很少的计算量（几分钟，而不是[5]的101小时），并且当被馈送非常稀疏的输入时，相比之下产生更精确的解。（15）的正交细化假设基础映射是面积保持的[31]，因此在两个形状是非等距的情况下必然失败。Rodola等人。[36]建议考虑给定C的非刚性对应物：minP∈[0，1]n×nDKL（CΦT，<$TP）+λ<$$>（CΦT−<$TP）<$2S. t. PT1= 1。（十七）这里DKL表示概率分布之间的Kullback-Leibler散度，λ是促进平滑速度向量的低通算子，λ >0控制分配的规律性。 然后通过相干点漂移算法（CPD）[30]通过期望最大化解决该问题。我们使用已知的地面真实的形状之间的对应关系由于这被认为是所有计算方法的理想输入，我们放弃了（15）中的细化步骤。由其他方法返回的对应关系被视为潜在双射的噪声实现，并通过PMF恢复，其中σ2设置为目标形状区域的2%。我们显示了71对来自SCAPE数据集[7]（近等距，1K顶点）和来自FAUST数据集[11]的100对（包括类间对，7K顶点）。在图11和图9中，我们比较了对应精度，而在图12中，我们可视化了缺乏平滑性、双射性和精度如何影响纹理转移。所有输入匹配的准确性增加，通过apply- plying产品歧管过滤器。据我们所知，由PMF获得的匹配是可以从这种类型的低秩近似中恢复的最准确的匹配。虽然线性分配问题是已知的时间要求解决大量的变量，最显着增加的运行时间时，应用- ING相干点漂移算法（见表1）。图6. 我们的方法对TOSCA [12]中的两个猫形状的结果。这个高分辨率的形状有27894个顶点，使得在内存中存储整个成对距离矩阵是不可行的。我们的多尺度方法从作为输入给出的仅20个稀疏对应中恢复了平滑匹配，使用五个分层尺度，如第2.2节中详述的。图7. 图中评估的多尺度迭代的可视化。8. 从左至右：1K、2K、8K、28K（所有）顶点。3.3.使用多尺度在这组实验中，我们演示了PMF与2.2中描述的多尺度方法如何重新覆盖以高分辨率采样的形状上的非常精确的匹配图6显示了两个形状之间的密集双射匹配，每个形状以n=27894个点采样在6个尺度上，ni∈ {103，2×103，4×103，8×103，1. 6×104，n}，求解了约束条件下的最优解（11）3336NN+2xPMFNN+PMF最近邻居Bij. NNBij. NN+PMFBij. NN +2 x PMF1008060402001008060402001008060402020谐波50次谐波0 1 2 3 4 5 6测地误差[直径%]图8. 图6所示两只猫之间对应关系的定量分析，使用多尺度方法恢复。测地误差是相对于地面实况以最精细的尺度测量的。在粗尺度下，由任何匹配引入的最小预期测地误差与采样半径的数量级相同。正如预期的那样，匹配的准确性随着每次迭代而增加。00 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10测地误差（直径的p图9. 非等距FAUST数据集（约7K顶点）上逐点对应方法的定量比较。10080604020表1. 平均运行时间（秒）。我们比较了不同的对应恢复方法的运行时间。给定函数映射的秩k近似于在n个点处采样的形状之间的对应关系，我们报告获得密集匹配所需的时间。准确度评价见图11、9和12图7显示了各个尺度上的匹配序列。图8显示了在更精细尺度下对应精度的改进。通过使用加权函数，我们迫使点在粗采样中保持靠近它们的最近邻，从而可以保证近似保持粗尺度的精度。以最好的分辨率解决约束问题花了不到9分钟的时间。计算所有尺度的核密度矩阵（6）花费了不到40分钟。对来自FAUST数据集的形状对进行另一个测试。如图10所示，使用四尺度方案获得的对应关系在精度上与单尺度方案的解相当然而，多尺度方法的运行时间明显较低。计算所有尺度的核密度矩阵（6）花费了大约4分钟，而求解所有尺度的LAP花费了大约18秒。00 1 2 3 4 5 6测地误差[直径%]图10.FAUST数据集上多尺度实验的误差曲线为了比较，通过单尺度PMF获得的解以黑色虚线示出。4. 讨论和结论我们考虑了通过过滤来自任何现有算法（包括那些不保证双射性或产生稀疏对应的算法）的给定匹配集来恢复双射对应的问题。将对应计算视为乘积空间中的核密度估计问题，引入乘积流形滤波器，使对应平滑，并通过一个矩阵来体现双射性的附加约束.我们相信，在其他科学和工程领域中大量使用的统计工具特别感兴趣的是，例如通过使用描述符，可以将乘积空间提升到更高的维度，对两个形状上的点的局部相似性进行编码。构造核密度估计器的方式不限制1K2K4K8K16K28K单尺度1K2K4K7K顶点百分比p对应n1000100068906890R20502050最近邻居0.040.061.352.88双射神经网络2.792.30463.66253.03CPD4.794.671745.062085.65NN + PMF1.751.28382.86244.10Bij. NN + PMF4.063.44746.00440.94顶点百分比3337NN NN+PMFCPD CPD+PMFNN NN+PMFCPD CPD+PMF百分之一百分之三5%7%×直径20谐波100908070605010050次谐波90807060500 2 4 6 810测地误差（直径的%0 2 4 6 810测地误差（直径的%0 2 4 6 8 10测地误差（直径的%图11. 从函数映射（20和50本征函数）逐点对应恢复方法的定量比较。我们匹配了来自近等距SCAPE数据集（1K）的70对。绘制了测地误差的直方图。过滤最近邻居的结果（左）优于最先进的方法（右），同时只有其运行时间的一小部分（表1）。当用双射NN（中心）的结果初始化PMF估计器时，在负担得起的运行时间下实现了更好的结果图12. 从函数映射恢复点态对应方法的定性比较。目前的方法，如最近邻（NN）和相干点漂移（CPD）遭受的精度差，缺乏满射性。将所提出的估计应用于它们中的任何一个给出了具有高精度和改进的平滑性的有保证的双射匹配。左：我们通过将纹理从源形状X转移到目标形状Y来可视化方法的准确性。NN和CPD都不产生双射映射。通过为非命中点分配固定颜色（绿色）来可视化满射性的缺乏。右：由匹配引起的测地误差（地面实况和恢复的匹配之间的距离，相对于形状直径）在目标形状Y上可视化。每个形状的样本是不同的。与加权因子的使用一起，这允许直接使用软地图作为输入。最后，我们相信，在产品空间中的对应流形去噪是一个有用的观点，适用于不同的问题，在计算机视觉中，光滑的对应关系，如光流。确认或确认我们感谢ZorahL aühner 的有益讨论和Florian Bernard的稀疏拍卖算法的mex实现。DC和MV由ERC CoG 3D打印机支持。A.B. 由ERC StG RAPID提供支持。急诊室由ERC StG No. 307047（彗星）。R.L.由欧洲谷歌机器学习博士奖学金提供支持。最近邻居NN+PMFNN+2xPMFBij. NNBij. NN+PMFBij. NN+2xPMFCPDCPD+PMFCPD+2xPMF对应性%对应性%3338引用[1] Y. Aflalo，H. 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