没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
理论计算机科学电子笔记143(2006)87-99www.elsevier.com/locate/entcs系统BV是NP完全的OzanKahog ullar1,2莱比锡大学计算机科学研究所德累斯顿工业大学国际计算逻辑中心摘要系统BV是乘法线性逻辑(MLL)的扩展,具有规则混合,零值混合和自对偶,非交换逻辑运算符,称为seq。规则混合和空值混合扩展了演绎系统,而操作符seq扩展了MLL语言。由于操作符seq,系统BV将MLL的应用扩展到顺序组成至关重要的那些应用,例如,并发理论系统FBV是MLL的扩展,具有规则混合和空值混合。本文利用系统BV是系统FBV的保守推广这一事实,我证明了系统BV是NP完全的编码的3-分区问题的FBV。 我提供了一个简单的完整性证明,这种编码诉诸一种新的证明理论方法,减少不确定性证明搜索,这也是独立的利益。关键词:证明理论,深度推理,结构演算,系统BV,NP完全性1介绍自其出现以来,线性逻辑的乘法片段[5]由于其捕获并发计算属性的资源意识特征(参见,例如,[1])。 Max Kanovich在[8,9]中证明了乘法线性逻辑(MLL)是NP完全的。在文献[10]中,Lincoln和Winkler证明了MLL的唯常数片段也是NP完全的。然而,从应用的角度来看,乘法线性逻辑缺乏自然的顺序性概念,这对于表达许多[1]这项工作得到了DFG Graduierten-kolleg 446的支持,并在我作为访问研究员在国际计算逻辑中心期间完成。我要感谢Alessio Guglielmi,Lutz Straßburger和AlwenTiu的宝贵意见和改进。2 电子邮件地址:ozan@informatik.uni-leipzig.de1571-0661 © 2005 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2005.05.02688O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87MLL(NP-完全,[8,10])+混合+mix0+指数!、、怎么样?Mell+混合+mix0FBV(NP完全,推论6.2)+seq:自对偶,非交换算子+seq:自对偶,非交换算子BV(NP完全,定理6.1)+指数!、、怎么样?NEL(不可判定,[15])Fig. 1. MLL、FBV、BV、MELL和NEL之间的关系计算现象,例如,并发理论中进程的顺序组合。在[6]中,Guglielmi引入了一个系统,称为BV,它是MLL的扩展,具有规则mix,nullarymix(mix0)和自对偶,非交换逻辑运算符seq。规则mix和mix0扩展了演绎系统,而操作符seq扩展了MLL语言。这种逻辑通过逻辑运算符自然地捕获进程代数的顺序和并行组合。特别是,在[3]中,Eschericholi证明了进程代数CCS[11]的一个片段与系统BV之间存在严格的对应关系。系统BV不能在任何标准的微积分中设计,正如Tiu在[ 16 ]中所示:在演绎演算中,在自底向上的证明搜索过程中,推理规则被应用于主连接词;然而,为了借助于演绎系统获得系统BV的所有可证明公式,深度重写的概念是必要的。系统BV是在证明理论框架中设计的,结构演算[6],它允许这种深度重写。在结构演算中,主连接词的概念消失了,而结构演算中的公式和公式的概念被结构的概念所取代。推理规则可以应用于结构的内部深处,从而导致这种形式主义的一个显着特征,即深度推理。在其他一些相关工作中(例如,[2,14]),深推理产生了其他逻辑的许多有趣的证明理论性质,这些性质在这些逻辑的微积分表示中是不可观察的用一个自对偶的非交换算子扩充乘法线性逻辑,将R e中的sid ede转化为r′e的p om s et逻辑[ 1 2 ]. 在[13]中,Reto给出了pomset逻辑的证明网,但至今还没有一个具有割消性质的pomset逻辑的证明演算系统。事实上,Guglielmi在[6]中指出,pomset逻辑和系统BV是等价的。在[7]中,Guglielmi和Straßburger引入了一个系统,称为NEL,它用线性逻辑的指数扩展了系统BV。换句话说,系统NEL是乘法指数线性逻辑(MELL)的扩展,具有规则mix,mix0和自对偶,非交换逻辑运算符seq。O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)8789虽然乘法指数线性逻辑是否可判定还不清楚,但在[15]中,Straßburger证明了系统NEL是不可判定的。然而,系统BV中决策问题的复杂性仍然是一个悬而未决的问题.本文通过对乘法线性逻辑中的3-划分问题[4]进行编码,将其推广为规则mix和mix 0,即系统FBV,我展示了这个逻辑的NP-困难性。这个结果暗示了系统BV的NP-困难性,因为系统BV是系统FBV(MLL+mix+mix 0)的保守扩展:每个可证明的BV结构,不包含任何seq结构,也可以在FBV中证明。图1总结了MLL、FBV、BV、MELL和NEL之间的关系,以及本文的贡献。虽然[8]中用于表示MLL的NP-难性的结构演算中的编码可以用于表示MLL+mix+mix 0的NP-难性,但在本文中,我通过对该逻辑的证明理论的分析,在结构演算中提供了一个更简单的编码和更容易的证明:与结构演算相比,在自底向上的证明搜索中应用推理规则时,结构演算中推理规则的深度适用性引入了更大的不确定性。我介绍了一种新的技术,用于控制证明搜索中的非确定性,这也是独立的兴趣,从应用的角度来看:尽管组合爆炸的推理规则的适用性计算的结构,我的方法减少了证明搜索中的非确定性,而不损害系统的完整性。这样,就有可能将我的编码中的冗余非决定论与简洁非决定论分离开来,并证明编码的完备性,而无需进行难以理解和复杂的案例分析。本文的其余部分组织如下:在下一节介绍结构和系统BV的计算之后,我提出了一种控制乘法线性逻辑中证明搜索中的不确定性的方法,该方法由规则mix和mix0扩展,即,系统FBV。然后,我提出了一个编码的3划分问题的FBV,这是一个NP完全问题。在此之后,通过证明BV中证明的长度由证明结构的大小的多项式限定,我证明系统BV是NP完全的。2结构计算与BV系统本节重新收集了结构演算和系统BV的一些概念和定义,遵循[6]。在BV语言中,原子由a、b、c、. 结构是-90O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87由R,S,T,... 和产生S::=|一|... ; S|[S,.,S]|(S,.(S)|S,`>1000x`>200 X`>200 X其中,单位,不是原子。 ... ; S,称为seq结构,[S,. ,S]称为par结构,并且(S,.,S)被称为共ar结构,S是结构S的否定。结构被认为是等价的模的关系,这是最小的同余关系诱导的等式在图2中示出。TereR→,T→而U代表有限非空序列的结构。一个结构上下文,表示为S{},是一个结构,一个没有出现在否定范围内的漏洞。结构R是S{R}的子结构,S{ }是它的上下文。如果不可能有歧义,则省略上下文大括号:例如S[R,T]代表S{[R,T]}。 当一个结构或结构上下文中出现的唯一被否定的结构是原子时,它处于标准形式,没有单位原子出现在其中。我们将不涉及seq结构的BV结构称为FBV结构。 在FBV结构和乘法线性逻辑(MLL)公式之间有一个直接的对应关系,它不包含单元1和单元2。 F或exa mple[(a,b),c′,d′]对应于((ab)c′d′),反之亦然。当规则mix和mix0被添加到MLL时,单元1和mix被映射到mix,因为1是 mix。混合► Φ►Ψ► Φ,Φmix0►关于BV的证明理论以及BV和MLL之间的精确关系的更详细的讨论,读者可以参考[6]。在结构演算中,推理规则是一种模式,不ρ,其中ρ是规则的名称,T是其前提,R是其结论。RS{T}一个典型的(深度)推理规则具有ρ的形状S{R} ,并将其具体化。在通用上下文S{ }内的阳离子TR,其是在系统3中被建模的隐含。当推理规则的实例中的前提和结论等价时,该实例是平凡的,否则它是非平凡的。如果一个推理规则的前提是空的,那么这个推理规则被称为公理规则为空3由于在TR和R T之间存在差异,规则在所有规则中出现:一个版本和一个版本。例如,图3中ai↓规则的对偶是切割规则。在本文中,只考虑了向下规则,它提供了一个健全和完整的系统。O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)8791◦↓◦关于我们ai↓S[a,a′]S([R,T],U)SS[(R,U),T]S[R,U]; [T,V]q↓S[R;T,U;V]关联性R→;[R→,[T→]][R→,T→](R→,(T→))(R→,T→)上下文闭包如果R=T,则S{R}=S{T}R<$=T<$交换性[R→,T→][T→,R→](R→,T→)(T→,R→)单位I'm sorry. I'msorry. I'msorry.[,R→][R→](R→)(R→)否定◦ ≈ ◦[医]甲状旁腺素[R,T](R,T)(R,T)[R,T]RRSingletonR图二、基于BV的等效关系。图三. 系统BV上下文对应于微积分的情况一个(形式)系统S是一组推理规则。 在某种形式系统中,一个推导子链是系统中推理规则实例的有限链。 一个派生只能由一个结构组成。 最上面的结构 在一个推导中,如果存在的话,称为推导的前提,最底层的结构称为推导的结论。 一个推导,其前提不是T,结论是R,推理规则在S中将被写为S。R同样,S将表示一个证明,这是一个有限的推导,其R最上面的推理规则是公理。 推导(证明)的长度是其中出现的推理规则的实例数两个系统S和SJ是等价的,如果对于结构T的每个证明,在系统S中,存在T在系统SJ中的证明,反之亦然。图3所示的系统{ε ↓,ai ↓,s,q↓}用BV表示,称为基本系统V。系统的规则被称为单元(Unit)、原子交互(AtomicInteraction)、开关(Switch)和序列(Seq)。由mix和mix 0扩展的乘法线性逻辑系统,或系统{↓,ai↓,92O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87s},用FBV表示。O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87933预赛在证明搜索过程中,推理规则可以以许多不同的方式非确定地应用于结构,但只有少数规则实例可以提供证明。 虽然提供了一个丰富的组合分析的逻辑正在研究中,适用性的推理规则在任何深度导致更大的不确定性。然而,由于结构的概念,原子之间的相互依赖性很容易观察到,提供了控制非决定性的方法,而不会破坏证明理论的性质。在本节中,我提出了一个等价于系统FBV的系统,其中通过考虑对偶原子之间的这些相互依赖性来减少证明搜索中的不确定性。定义3.1给定一个结构S,S处的符号表示出现在S中的所有原子的集合。让交互开关成为规则S([R,T],U)是,S[(R,U),T]其中,在T处,在R处, 让系统FBV与交互开关,或系统FBVi是系统{ai ↓,ai↓,is}。引理3.2对于任何FBV结构R,U和T,如果[R,U]在不FBVi,则有一个推导我的 FBVi 。[(R,T),U]证据 如果在R 在U,然后琐碎。 否则R和U必须具有单独的证明。□定理3.3(FBVi的浅分裂)对于所有结构R、T和P,[P1,P2]如果[(R,T),P]在FBVi中可证,则存在P1,P2,FBVi等P[R,P1]和[T,P2]在FBVi中是可证明的。证据(略)用引理3.2进行归纳证明。取归纳测度(m,n),其中m=|[(R,T),P] |n是[(R,T),P]的证明的长度。挑出最底部的规则应用ρ在ρ中。将归纳论证应用于ρ,类似于BV分裂定理的证明94O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87在[6]中。 以下是ρ的非平凡情况:• ρ=使得R=(RJ,RJJ),T=(TJ,TJJ),P=(PJ,PJJ)并且[([(RJ,TJ),PJ],RJ,TJ),PJ]是 [(RJ,RJJ,TJ,TJJ),P J,P JJ]。• P=使得P= [(PJ,PJJ),UJ,UJJ]并且[([(R,T),PJ,UJ],PJ),UJ]是[(R,T),(PJ,PJJ),UJ,U JJ]。□定理3.4(FBVi的上下文约简)对于所有结构R和所有上下文S{},使得S{R}在FBVi中可证明,存在结构U,使得对于所有结构X,存在导子:[X,U]FBVi和S{X}FBVi.[R,U]证据(略)通过定理3.3和引理3.2对S {\displaystyle S}的大小进行归纳,类似于[ 6 ]中BV的上下文约简证明。□定理3.5系统FBV和FBVi是等价的。证据注意,FBVi中的每个证明也是FBV中的证明。对于另一个方向,在FBV证明中挑出开关规则的最上面的实例,它不是交互开关规则的实例FBViS([R,U],T)SS[(R,T),U]根据定理3.4,我们有[英 },V]FBVi,使得S{}FBVi.[([R,U],T),V]根据定理3.3,我们有[K1,K2]FBVi;FBVi;及FBVi.V[R,U,K1][K2,T]O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)8795然后我们可以构造以下证明FBVi[R,U,K1]FBVi[(R,T),U,K1,K2]FBVi[(R,T),U,V]FBViS[(R,T),U]其中,是引理3.2给出的推导,证明是。归纳性地重复上述过程,直到移除所有不是交互切换规则实例的切换规则实例。□分裂技术最初是在[6]中引入的,以证明系统BV的割消除。由于在上面的完整性论证中使用了分裂技术,从切割消除立即跟随,系统FBVi从证明理论的角度来看仍然是干净的。命题3.6系统BV是系统FBV的保守扩展,也就是说,如果一个不包含任何seq结构的结构R在BV中是可证明的,那么它也在FBV中是可证明的。证据假设R是不包含任何seq结构的BV结构。通过对R在BV中的证明长度的归纳,构造了R在FBV中的证明长度。因为唯一涉及seq结构的规则是规则q↓,所以它必须是= J。□4BV是NP难的在本节中,我将介绍系统FBV中的3划分问题的编码,以显示此逻辑和系统BV的NP难度。Lincoln和Winkler在[10]中也使用了这个问题来证明MLL的常数唯一片段的NP-硬度。通过提供类似的编码,并诉诸系统FBV的证明理论,在第3节中,我提供了一个非常简单的正确性证明,而无需进行复杂的案例分析。问题4.1[4](3-划分)给定一个集合A={a1,a2,.,a3 m}的元素,有界B∈Z+,对于每个a ∈ A,有一个大小S(a)∈Z+,使得1BS(a)1B且λa∈AS(a)=Bm,则若A存在一个部分,4 2m个不交子集Ai使得A∈AS(a)= B,对于分区中的每个Ai。我96O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87对S(a)的约束意味着这样的划分必须在其每个集合中恰好有三个元素。这个问题在强意义上是NP完全的,这意味着即使输入用一元表示,问题也是NP难的。3-Partition的这个属性对于我的编码是必不可少的,因为我用原子来表示输入问题4.1基于FBV给定3-划分的实例,其配备有集合A ={a1,a2,...,a3 m},一元函数S和自然数B,表示为元组A,m,B,S,则编码函数θ被定义为θ(A,m,B,S)=[(k,[c, . . , c]), . . ,(k,[c, . . , c]),([k<$,k<$,k<$,(c<$ , . . . ,c<$)], . . . ,[k<$,k<$,k<$,(c<$, .. . (c)])]`×S(a1)x`×S(a3mx)``×ײ¸m`×X引理4.2设S(a1),S(a2)和S(a3)是自然数,使得对于某个自然数B,成立1BS<(a1),S(a2),S(a3)<1B. 如果4 2S(a1)+S(a2)+S(a3)=B,则[R,Q]公司简介[R,(k,[c, . . , c])、(k,[c, . . , c])、(k,[c, . . ,c]),(Q,[k<$,k<$,k<$,(c<$, . . . ,c)])]。`×S(a1)x`×S(a2)x`×S(a3)x`×证据采用以下推导,其中突出显示了所应用规则的结论中的redex。[R,Q]我↓[R,(Q,[c, . . , c,c, .. . , c,c, .. . , c,(c′, . . . (c)])]`×S(a1)x `×S(a2)x`×S(a3)x`×ai↓.s[R,(k,[c, . . ,c])、(k,[c, . . ,c]),(Q,[k<$,k<$,c, . . . ,c,(c′, .. . (c)])]ai↓[R,(k,[c, . . ,c])、(k,[c, . . ,c]),(Q,[([k,k<$],[c, . . ,c]),k<$,k<$,(c<$, . . . (c)])]O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)8797s[R,(k,[c, . . ,c])、(k,[c, . . ,c]),(Q,[(k,[c, . . ,c]),k<$,k<$,k<$,(c<$, .. . (c)])]s[R,(k,[c, . . , c])、(k,[c, . . , c])、(k,[c, . . ,c]),(Q,[k<$,k<$,k<$,(c<$, . . . (c)])]`×S(a1)x`×S(a2)x`×S(a3)x`×□98O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87定理4.3如果一个3-划分问题<$A,m,B,S<$A可解,则在FBV中有θ(<$A,m,B,S<$A)的证明。证据 通过对m的归纳,使用引理4.2。□4.2编码的完整性定理4.4对于满足3-分拆约束的A,m,B,S,如果在FBV中有θ(<$A,m,B,S<$)的证明,则3-分拆问题A,m,B,S是可解的。证据 通过对m的归纳:m = 0的情况对应于空问题。设A,m + 1,B,S是使得A ={a1,a2,.,a3 m,a3 m +1,a3 m +2,a3 m +3}。假设我们有一个证明θ(<$A,m+1,B,S<$),我们证明,A,m+ 1,B, S可解。让R=[(k,[c,.,c])、(k,[c,. ,c]),.、(k,[c,. ,c]),(k,[c,...,(c)]`×S(a1)x`×S(a2)x×`S(a3m+x2)×`S(a3m+x3)且Q =([k<$,k<$,k<$,(c<$, . . . ,c<$)], .. . ,[k<$,k<$,k<$,(c<$, . . . (c)])`×`ײ¸m`×X使得θ(θA,m+1,B,Sθ)=[R,(Q,[k<$,k<$,k<$,(c<$, . . ,c)])]。`×从定理3.5我们得到θ(θA,m+ 1,B,Sθ)在FBVi中有一个证明,θ(θA,m+ 1,B,S θ)在FBVi中有一个证明。从定理3.3可以得出:[K1,K2]FBViFBViFBVi使得[K,Q]和[K,k<$,k<$,(c<$, . . . ,c)]。R1 2由于R中只有正原子,因此ai↓和is的规则都不能应用于R,因此衍生物R必须是结构R。这意味着[K1,K2]是R的两个分拆.注意,在K2中,k必须恰好出现3次,这意味着:O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)8799我JKK2=[(k,[c,.,c])、(k,[c,.,c])、(k,[c,.(c)]`×S(a)x`×S(a)x`×S(a)x100O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87和S(ai)+S(aj)+S(ak)= B,并且是归纳假设提供的证明。□推论4.5系统FBV是NP难的。证据 由定理4.3和定理4.4直接得出。□由于系统BV是系统FBV的一个保守扩展,这个结果暗示了系统BV的NP-困难性。推论4.6系统BV是NP难的。证据 紧接着命题3.6和推论4.5。□5系统BV在NP中在本节中,我将证明BV结构的证明是由该结构大小的多项式限制的。定义5.1[6]给定一个结构S,我们讨论原子的出现,当考虑所有出现在S中的原子都是不同的(例如,通过索引它们,使得两个相等的原子得到不同的索引)。 符号occS表示出现在S中的所有原子出现的集合。 大小是集合occS的基数。 给定一个标准形式的结构S,结构关系式↓ ↓ (occS)2,对于每个SJ{},U和V,对于对于U中的每个a和V中的每个b,以下成立:如果S=SJ[U,V],则a↓Sb。对于一个非正规形式的结构,我们将结构关系因为它们产生相同的关系式↓S。Remark5.2LetR=S[a,a<$]anddRJ=S{n}bBVs结构,具有第i对wis eRJ在Cttto Ms. 若ai↓,则n↓RJ=↓R\{(a,<$a),(a <$,a)}。R注5.3设R=S[(P,T),U]和RJ=S([P,U],T)是BV结构RJ两两不同的原子。如果s,则R↓RJ= ↓R\({(x,y)|x∈occTy∈occU}{(x,y)|x∈occU<$y∈occT})。注5.4设R=S[P;T,U;V]且RJ=S[P,U]; [T,V]为BVRJ两两不同原子的结构。如果q↓,则RO. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87101↓RJ= ↓R\({(x,y)|x ∈ occ P <$y ∈ occ V}<${(x,y)|x ∈ occ V<$y ∈occ P}<${(x,y)|x∈occU<$y∈occT}<${(x,y)|x∈occT<$y∈occU})。命题5.5BV结构R的证明的长度由下式限定:O(|奥克河|2)的情况。证据对于备注5.2、5.3和5.4;观察到↓R↓ (occR)2,因此| ↓|奥克<河|二、|2. 对于推理规则的每个(非平凡的)应用,RJ所以,ρ,我们有一个VE T TT|↓RJ|<|↓R|.□R6主要结果本文的主要结果来自第4节和第5节的结果:定理6.1系统BV是NP完全的。证据 紧接着推论4.6和命题5.5。□推论6.2由规则mix和mix0或系统FBV扩展的乘法线性逻辑是NP完全的。证据 由推论4.5和命题5.5直接得出。□引用[1] Bellin,G.,Subnets of proof-nets in multiplicative linear logic with MIX,7,CambridgeUniversity Press,1997 pp. 663-699[2] Bruünnler,K. ,“Dee p In f e r e n c e and Symm e try in C l a ss i c a l P r o f s,“Ph. D.Thesis,Techn ischeUniversitéatDresden(2003).[3] Escherichia coli,P.,一个纯粹的逻辑帐户的顺序性证明搜索,在:P。J. Stuckey,editor,Logic Programming , 18th International Conference , Lecture Notes in ComputerScience2401(2002).302-316[4] Garey,M. R.和D. S. Johnson,[5] Girard,J.-是的,Linear logic,Theoretical Computer Science50(1987),pp. 1-102[6] Guglielmi,A.,交互和结构系统,技术报告WV-02-10,德累斯顿工业大学(2002),To app。在ACM Transactions on Computational Logic中。[7] Guglielmi,A.和L.Straßburger,MELL的一个非交换扩张,在:M.巴兹和A. Voronkov,editors,LPAR 2002,Lecture Notes in Arti Ficial Intelligence2514(2002),pp. 231-246.[8] Kanovich,M.,线性逻辑的乘法片段是NP完全的,Technical Report X-91-13,Institute forLanguage,Logic,and Information(1991)。102O. KahramanogSchumullar/Electroni cNotesinTheoreticalComputerScience143(2006)87[9] Kanovich,M.,Horn Programming in Linear Logic is NP-complete,in:Procccenture ofthe 7th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science,Santa Cruz(1992),pp.200-210[10] Lincoln,P.和T.C. Winkler,Constant-only multiplicative linear logic is NP-complete,135(1),1994 pp.155-169[11] 米尔纳河,“Communication and Concurrency,” International Series in Computer Science,[12] Retor'e,C. ,Pmsetlogic:在P中,一种非共同的、非线性的扩展。deGroote和J.R. Hindley,editors,Typed Lambda Calculus and Applications,TLCA300-318[13] Retor'e,C. ,Pomsetlogic aacalc usofdecogh s,in:V. M. Abru sciandC. Casadio,编辑,逻辑学和语言学的动态视角,Bulzoni,罗马,1999年,pp.221-[14] 斯特拉斯伯格湖“结构演算中的线性逻辑和非交换性”,博士。Thesis,TU Dresden(2003).[15] 斯特拉斯伯格湖系统NEL是不可判定的,在:R中。De Queiroz,E.Pimentel和L.Figueiredo,编辑,第10届逻辑,语言,信息和计算研讨会(WoLLIC),理论计算机科学电子笔记84,2003年。[16] Tiu,A.F.、结构演算中逻辑系统的性质,技术报告WV-01-06,TechnischeUniversitéattDresden(2001)。
下载后可阅读完整内容,剩余1页未读,立即下载
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![application/msword](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://profile-avatar.csdnimg.cn/default.jpg!1)
cpongm
- 粉丝: 4
- 资源: 2万+
上传资源 快速赚钱
我的内容管理 收起
我的资源 快来上传第一个资源
我的收益
登录查看自己的收益我的积分 登录查看自己的积分
我的C币 登录后查看C币余额
我的收藏
我的下载
下载帮助
![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/voice.245cc511.png)
会员权益专享
最新资源
- 电力电子系统建模与控制入门
- SQL数据库基础入门:发展历程与关键概念
- DC/DC变换器动态建模与控制方法解析
- 市***专有云IaaS服务:云主机与数据库解决方案
- 紫鸟数据魔方:跨境电商选品神器,助力爆款打造
- 电力电子技术:DC-DC变换器动态模型与控制
- 视觉与实用并重:跨境电商产品开发的六重价值策略
- VB.NET三层架构下的数据库应用程序开发
- 跨境电商产品开发:关键词策略与用户痛点挖掘
- VC-MFC数据库编程技巧与实现
- 亚马逊新品开发策略:选品与市场研究
- 数据库基础知识:从数据到Visual FoxPro应用
- 计算机专业实习经验与项目总结
- Sparkle家族轻量级加密与哈希:提升IoT设备数据安全性
- SQL数据库期末考试精选题与答案解析
- H3C规模数据融合:技术探讨与应用案例解析
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035711.png)
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035711.png)
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035111.png)
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/green-success.6a4acb44.png)