数字三角形问题动态规划
时间: 2023-07-08 16:28:41 浏览: 59
数字三角形问题是一个经典的动态规划问题,也叫做杨辉三角问题。假设有一个n行的数字三角形,每个位置上有一个数字,从顶部走到底部,每次只能向下一行相邻的数字走,求出从顶部到底部的路径,使得路径上的数字之和最大。
解决这个问题的关键是要找到状态转移方程。我们可以用一个二维数组dp[i][j]表示从三角形的顶部走到(i, j)位置的最大数字之和。则状态转移方程为:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]
其中triangle[i][j]表示第i行第j列的数字。按照这个方程,我们可以从上到下依次求解每个位置的最大数字之和,最终得到从顶部到底部的路径上的数字之和最大值。
具体实现时,可以使用一个一维数组来保存当前行的最大数字之和,不断更新这个数组直到求解完整个数字三角形。
相关问题
算法设计数字三角形动态规划
算法设计数字三角形动态规划是一种常见动态规划算法,用于解决数字三角形问题。数字三角形是一个由数字组成的三角形结构,从顶部开始,每一行都有一定数量的数字。目标是找到一条从顶部到底部的路径,使得路径上经过的数字之和最大。
以下是算法设计数字三角形动态规划的步骤:
1. 创建一个与数字三角形相同大小的二维数组dp,用于存储每个位置的最大路径和。
2. 初始化dp数组的最后一行为数字三角形的最后一行。
3. 从倒数第二行开始,逐行向上计算每个位置的最大路径和。对于每个位置(i, j),可以选择下一行中相邻的两个数字中较大的一个,然后加上当前位置的数字,更新dp[i][j]。
4. 最后,dp即为整个数字三角形的最大路径和。
数字三角形动态规划
数字三角形是一个由数字组成的三角形,其中每个数字都与其下方相邻的两个数字相连。现在有一个数字三角形,要求从三角形的顶端出发,到达底端,使所经过的数字之和最大。这个问题可以使用动态规划来解决。
具体的动态规划算法如下:
1. 定义状态:设 $f(i,j)$ 表示从三角形的第 $i$ 行第 $j$ 列出发,到达底端,所经过的数字之和的最大值。
2. 初始化状态:$f(n,j)=a_{n,j}$,其中 $n$ 表示数字三角形的行数,$a_{n,j}$ 表示数字三角形第 $n$ 行第 $j$ 列的数字。
3. 状态转移:对于三角形中的任意一个位置 $(i,j)$,其下方相邻的两个数字为 $(i+1,j)$ 和 $(i+1,j+1)$,则状态转移方程为:
$$f(i,j)=\max\{f(i+1,j),f(i+1,j+1)\}+a_{i,j}$$
4. 最终答案:$f(1,1)$ 即为所求。
代码实现如下:
```python
def maximum_sum(triangle):
n = len(triangle)
f = [[0] * (i+1) for i in range(n)]
for i in range(n-1, -1, -1):
for j in range(i+1):
if i == n-1:
f[i][j] = triangle[i][j]
else:
f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
return f[0][0]
```
其中,输入的 `triangle` 是一个由数字组成的二维列表,表示数字三角形。函数返回所经过的数字之和的最大值。
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