按Prime算法从某个指定的顶点出发输出图G的最小生成树
时间: 2024-03-12 21:48:05 浏览: 53
Prime算法是一种用于生成图的最小生成树的算法。它的基本思想是从一个初始顶点开始,逐步扩展生成树,直到生成整个图的最小生成树为止。具体步骤如下:
1. 选择一个起始顶点,并将其加入生成树中。
2. 对于当前生成树中的所有顶点,找到它们能够到达的所有未加入生成树的顶点中权值最小的那个,并将其加入生成树中。
3. 重复步骤2,直到生成整个图的最小生成树。
下面是使用Prime算法输出图G的最小生成树的伪代码:
```
1. 从任意一个顶点开始,将其加入生成树中。
2. 将所有与生成树中顶点相邻的边加入一个优先队列中,按照边的权值从小到大排序。
3. 从队列中取出权值最小的边,如果它的另一个顶点未被加入生成树,则将其加入生成树中,并将其所有相邻的边加入队列中。
4. 重复步骤3,直到生成整个图的最小生成树。
```
注意,这里的优先队列可以使用小根堆来实现。另外,需要用一个数组记录每个顶点是否已经加入生成树中,以避免重复加入。
相关问题
按Prime算法从某个指定的顶点出发输出图G的最小生成树的时间复杂度
使用Prime算法从某个指定的顶点出发输出图G的最小生成树的时间复杂度为O(mlogn),其中n为图中顶点的个数,m为图中边的个数。
具体来说,整个算法可以分为两个部分:加入顶点和更新优先队列。在加入顶点的过程中,每个顶点最多只会被加入一次,因此需要进行n次循环;在更新优先队列的过程中,每条边最多只会被加入一次,因此需要进行m次循环。而在每次更新优先队列的时候,需要进行一次堆操作,其时间复杂度为logm。因此,总的时间复杂度为O(mlogn)。
需要注意的是,在稠密图中,即m接近n^2时,使用Prim算法的时间复杂度可能会退化到O(n^2),因为每个顶点都要加入生成树中,并且每次需要扫描所有未加入生成树的顶点。此时可以考虑使用Kruskal算法,它的时间复杂度不依赖于图的稠密程度。
⑥ 使用 Prime 算法(或者 Kruskal 算法)从某个指定的顶点出发输出图 G 的 最小生成树;(要求把最小生成树的各条边输出成 A-B-wight,或者 (A,B,weight)的形式);用C语言实现
以下是使用Kruskal算法从指定顶点出发输出图G的最小生成树的C语言实现,输出格式为(A,B,weight):
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERTICES 100
#define MAX_EDGES 100
typedef struct {
int u, v, weight;
} Edge;
int parent[MAX_VERTICES];
Edge edges[MAX_EDGES];
int find(int i) {
while (parent[i] >= 0) {
i = parent[i];
}
return i;
}
void unionSet(int i, int j) {
if (parent[i] < parent[j]) {
parent[i] += parent[j];
parent[j] = i;
} else {
parent[j] += parent[i];
parent[i] = j;
}
}
void kruskal(int n, int m, int start) {
int i, j, k;
int numEdges = 0;
int minWeight = 0;
Edge minEdge;
for (i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = -1;
}
for (i = 0; i < m; i++) {
if (edges[i].u == start || edges[i].v == start) {
// 只考虑从指定顶点出发的边
continue;
}
edges[i].weight *= -1; // 将边权取相反数,以便使用最大堆
}
// 使用最大堆存储边
Heap *heap = createHeap(m, greater);
for (i = 0; i < m; i++) {
if (edges[i].u == start || edges[i].v == start) {
continue;
}
insert(heap, edges[i]);
}
while (numEdges < n - 1) {
if (isEmpty(heap)) {
printf("The graph is not connected.\n");
return;
}
minEdge = deleteRoot(heap);
minEdge.weight *= -1; // 恢复边权
i = find(minEdge.u);
j = find(minEdge.v);
if (i != j) {
printf("(%d,%d,%d) ", minEdge.u, minEdge.v, minEdge.weight);
unionSet(i, j);
numEdges++;
minWeight += minEdge.weight;
}
}
printf("\nThe total weight of the minimum spanning tree is %d.\n", minWeight);
}
int main() {
int n, m, start, i;
printf("Enter the number of vertices and edges of the graph: ");
scanf("%d%d", &n, &m);
printf("Enter the edges of the graph: ");
for (i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d%d%d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].weight);
}
printf("Enter the starting vertex: ");
scanf("%d", &start);
kruskal(n, m, start);
return 0;
}
```
注意,上述代码使用了一个最大堆实现了Kruskal算法,以便处理边权取相反数后的最小值。如果不想使用最大堆,可以在输入边时将边权取相反数,然后在输出时再将边权恢复即可。
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