用Python实现求解光滑化的LASSO模型（2）的梯度法；其中线搜索使用非单调线搜索，BB步长作为初始步长

好的，我来为您解答这个问题。

首先，我们需要了解LASSO模型的梯度法的基本思路：

1. 定义LASSO模型的代价函数；
2. 对代价函数进行求偏导，得到梯度向量；
3. 在每一步迭代中，使用线搜索确定步长，并利用梯度向量更新参数；
4. 重复步骤2和3，直到收敛为止。

接下来，我们将逐步实现这个过程。

1. 定义LASSO模型的代价函数

LASSO模型的代价函数可以表示为：

$J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 + \lambda\sum_{j=1}^n|\theta_j|$

其中，$h_\theta(x)$ 表示模型的预测值，$\theta$ 表示模型参数，$x^{(i)}$ 和 $y^{(i)}$ 分别表示第 $i$ 个样本的特征向量和目标值，$m$ 表示样本数，$n$ 表示特征数，$\lambda$ 表示L1正则化系数。

我们可以使用以下Python代码实现该函数：

import numpy as np

def lasso_cost(X, y, theta, lamda):
    m = len(y)
    h = X.dot(theta)
    cost = 1/(2*m) * np.sum((h-y)**2) + lamda*np.sum(np.abs(theta))
    return cost

2. 求偏导，得到梯度向量

根据代价函数的定义，我们可以得到梯度向量的表达式：

$\nabla J(\theta) = \frac{1}{m}X^T(X\theta - y) + \lambda sign(\theta)$

其中，$X$ 表示输入样本的特征矩阵，$sign(\theta)$ 表示 $\theta$ 中每个元素的符号函数。

我们可以使用以下Python代码实现该函数：

def lasso_grad(X, y, theta, lamda):
    m = len(y)
    h = X.dot(theta)
    grad = 1/m * X.T.dot(h-y) + lamda*np.sign(theta)
    return grad

3. 非单调线搜索，BB步长作为初始步长

我们可以使用以下Python代码实现非单调线搜索和BB步长的计算：

def non_monotone_line_search(X, y, theta, grad, cost, lamda, alpha=0.1, beta=0.7, max_iter=20, max_backtrack=10):
    t = 1
    backtrack = 0
    while backtrack < max_backtrack:
        new_cost = lasso_cost(X, y, theta - t*grad, lamda)
        if new_cost < cost - alpha*t*np.linalg.norm(grad)**2:
            break
        t = beta*t
        backtrack += 1
    if backtrack == max_backtrack:
        t = 0
    else:
        s = lasso_grad(X, y, theta, lamda) - grad
        if np.abs(s.dot(grad)) > 1e-10:
            t = s.dot(s) / s.dot(grad)
    return t

其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 分别表示线搜索的参数，$max\_iter$ 和 $max\_backtrack$ 分别表示最大迭代次数和最大回溯次数。

4. 使用梯度向量更新参数

我们可以使用以下Python代码实现梯度下降算法的更新过程：

def lasso_gd(X, y, theta, lamda, lr=0.01, max_iter=1000, tol=1e-6):
    cost_history = []
    theta_history = [theta]
    for i in range(max_iter):
        cost = lasso_cost(X, y, theta, lamda)
        grad = lasso_grad(X, y, theta, lamda)
        t = non_monotone_line_search(X, y, theta, grad, cost, lamda)
        theta = theta - t*grad
        cost_history.append(cost)
        theta_history.append(theta)
        if np.linalg.norm(grad) < tol:
            break
    return theta, cost_history, theta_history

其中，$lr$ 表示学习率，$max\_iter$ 表示最大迭代次数，$tol$ 表示梯度的收敛阈值。

综上所述，这就是用Python实现求解光滑化的LASSO模型的梯度法的完整过程。