c++ 拉格朗日插值多项式

拉格朗日插值多项式是一种常用的插值方法，它可以通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而在未知的数据点处进行插值。

具体来说，假设有n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，其中x1<x2<...<xn，要构造一个n-1次多项式函数P(x)，使得P(xi)=yi，那么拉格朗日插值多项式可以表示为：

P(x)=∑(i=1 to n) yiL(x,i) / L(xi,i)

其中L(x,i)是一个n-1次的基函数，它可以表示为：

L(x,i)=∏(j=1 to n, j≠i) (x-xj)/(xi-xj)

这个基函数的特点是，当x=i时，L(x,i)=1，而当x≠i时，L(x,i)=0。因此，在求解P(x)的时候，只有当x等于某个xi时，才会有相应的yiL(x,i)会对P(x)做出贡献，而其他的yiL(x,i)都会变成0。

下面是一个使用c++实现拉格朗日插值多项式的示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 求解拉格朗日插值多项式
double lagrange_interpolation(const vector<double>& x, const vector<double>& y, double xi) {
    int n = x.size();
    double res = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double Li = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (j != i) {
                Li *= (xi - x[j]) / (x[i] - x[j]);
            }
        }
        res += y[i] * Li;
    }

    return res;
}

int main() {
    vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};
    vector<double> y = {2.1, 3.5, 4.2, 5.0, 6.3};
    double xi = 2.5;

    double res = lagrange_interpolation(x, y, xi);
    cout << "P(" << xi << ") = " << res << endl;

    return 0;
}