c++ 写拉格朗日插值问题
时间: 2023-11-03 19:23:13 浏览: 33
假设有$n+1$个点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)$,其中$x_0,x_1,\cdots,x_n$两两不同,且给定一个$x\in[x_0,x_n]$,要求用拉格朗日插值方法求出$f(x)$的近似值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为:
$$
L_n(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$
其中,$L_n(x)$为$n$次多项式,$y_i$为第$i$个点的纵坐标,$\prod$表示连乘积。
对于给定的$x$,我们需要求出它在插值多项式$L_n(x)$中的值,即
$$
f(x)\approx L_n(x)
$$
因此,我们需要计算出每一个$x_i$对应的插值基函数:
$$
l_i(x)=\prod_{j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$
然后将这些基函数带入到拉格朗日插值多项式中,即可得到$f(x)$的近似值:
$$
f(x)\approx L_n(x)=\sum_{i=0}^{n}y_il_i(x)
$$
最后,我们可以写出求解拉格朗日插值问题的算法:
1. 输入$n+1$个点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)$和待插值点$x$。
2. 对于每一个$i=0,1,\cdots,n$,计算插值基函数$l_i(x)$。
3. 计算插值多项式$L_n(x)=\sum_{i=0}^{n}y_il_i(x)$。
4. 输出$f(x)\approx L_n(x)$作为$x$的近似值。