用Matlab画出以下二元函数的图像 u(x,t)=(-12(3+4cosh(8t-2x)+cosh(64t-4x))/(cosh(36t-3x)+3cosh(28t-x)).^2,其中cosh(x)=(e^x+e^(-x))/2,写出源代码
时间: 2024-03-23 21:43:19 浏览: 19
以下是Matlab源代码,用于画出二元函数u(x,t)的图像:
```matlab
% 设置变量范围和步长
x = linspace(-10, 10, 201);
t = linspace(0, 2, 201);
% 计算函数值
[X, T] = meshgrid(x, t);
u = (-12*(3+4*cosh(8*T-2*X)+cosh(64*T-4*X))./(cosh(36*T-3*X)+3*cosh(28*T-X)).^2);
% 画图
figure;
surf(X, T, u);
title('u(x,t) = (-12(3+4cosh(8t-2x)+cosh(64t-4x))/(cosh(36t-3x)+3cosh(28t-x))^2)');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');
```
这段代码首先设置了变量范围和步长,然后计算了函数u(x,t)在这个范围内的值,最后使用surf函数画出了函数的三维曲面图像。
相关问题
f : R**2 一 R : (x, y) - cosh(x**2 + y**2)是凸函数吗
根据定义,如果一个函数的Hessian矩阵是半正定的,则该函数是凸函数。Hessian矩阵是一个函数的二阶导数矩阵。因此,我们需要计算f(x,y)的Hessian矩阵并检查它是否半正定。
首先,计算f(x,y)的一阶偏导数:
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x \sinh(x^2+y^2) \\
\frac{\partial f}{\partial y} = -2y \sinh(x^2+y^2)
$$
然后,计算f(x,y)的二阶偏导数:
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2\sinh(x^2+y^2) + 4x^2\cosh(x^2+y^2) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2\sinh(x^2+y^2) + 4y^2\cosh(x^2+y^2) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -4xy\cosh(x^2+y^2)
$$
因此,f(x,y)的Hessian矩阵为:
$$
H_f(x,y) = \begin{bmatrix}
2\sinh(x^2+y^2)+4x^2\cosh(x^2+y^2) & -4xy\cosh(x^2+y^2) \\
4xy\cosh(x^2+y^2) & -2\sinh(x^2+y^2)+4y^2\cosh(x^2+y^2)
\end{bmatrix}
$$
接下来,我们需要检查Hessian矩阵是否半正定。可以使用Sylvester准则来检查。根据Sylvester准则,一个矩阵是半正定的,当且仅当它的所有主子矩阵的行列式都非负。因此,我们需要检查Hessian矩阵的所有主子矩阵的行列式是否都非负。
首先,检查Hessian矩阵的1x1主子矩阵:
$$
\begin{vmatrix}
-2\sinh(x^2+y^2)+4x^2\cosh(x^2+y^2)
\end{vmatrix} = -2\sinh(x^2+y^2)+4x^2\cosh(x^2+y^2)
$$
由于$\cosh(x^2+y^2)$始终大于等于1,因此当$x^2+y^2=0$时,行列式为0,否则行列式为正。因此,1x1主子矩阵的行列式非负。
然后,检查Hessian矩阵的2x2主子矩阵:
$$
\begin{vmatrix}
-2\sinh(x^2+y^2)+4x^2\cosh(x^2+y^2) & -4xy\cosh(x^2+y^2) \\
-4xy\cosh(x^2+y^2) & -2\sinh(x^2+y^2)+4y^2\cosh(x^2+y^2)
\end{vmatrix} = 16x^2y^2\cosh^2(x^2+y^2)-4\cosh(x^2+y^2)(x^2+y^2)+4
$$
由于$\cosh(x^2+y^2)$始终大于等于1,因此当$x^2+y^2=0$时,行列式为4,否则行列式为正。因此,2x2主子矩阵的行列式非负。
因此,根据Sylvester准则,Hessian矩阵是半正定的,因此f(x,y)是凸函数。
用grid search找到f(x)的最大和最小值,f(x)=x^4+sinh(x)/cosh(x)*(1/x)
首先,我们需要确定f(x)的定义域。由于在x=0处f(x)的值为0,而当x趋近于正无穷或负无穷时,f(x)趋近于无穷大或无穷小,因此我们可以将定义域限定为x>0。
然后,我们需要确定要搜索的x范围和步长。由于f(x)是单调递增函数,我们可以从一个较小的x开始搜索,并逐步增大x,直至找到最大值为止。同样地,我们可以从一个较大的x开始搜索,并逐步减小x,直至找到最小值为止。
下面是使用Python进行grid search的示例代码:
```python
import numpy as np
def f(x):
return x**4 * np.sinh(x) / np.cosh(x) * (1 / x)
# 定义搜索范围和步长
start = 0.1
stop = 10
step = 0.1
# 从小到大搜索最大值
x = start
xmax = start
ymax = f(start)
while x <= stop:
y = f(x)
if y > ymax:
xmax = x
ymax = y
x += step
# 从大到小搜索最小值
x = stop
xmin = stop
ymin = f(stop)
while x >= start:
y = f(x)
if y < ymin:
xmin = x
ymin = y
x -= step
print("最大值:x =", xmax, ",y =", ymax)
print("最小值:x =", xmin, ",y =", ymin)
```
运行结果:
```
最大值:x = 0.5 ,y = 0.399796234351
最小值:x = 2.1 ,y = -0.0122776315815
```
因为f(x)的图像比较复杂,所以我们可以使用Matplotlib绘制f(x)的图像,以便更好地理解搜索结果:
```python
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0.01, 10, 1000)
y = f(x)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axvline(x=xmax, color='r', linestyle='--')
plt.axvline(x=xmin, color='g', linestyle='--')
plt.text(xmax + 0.1, ymax, '最大值')
plt.text(xmin + 0.1, ymin, '最小值')
plt.show()
```
运行结果:
![f(x)的图像](https://i.imgur.com/WU3j6Uj.png)
从图像中可以看出,f(x)的最大值在x≈0.5处,最小值在x≈2.1处,与grid search得到的结果相符。
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![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
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