设a1, a2,…, an是集合{1, 2, …, n}的一个排列，如果i<j且ai>aj，则序偶(ai, aj)称为该排列的一个逆序。例如，2, 3, 1有两个逆序：(3, 1)和(2, 1)。设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。

### 回答1：
可以使用归并排序的思想来统计逆序的个数。具体步骤如下：

1. 将给定排列分成左右两个子序列，分别递归地统计左右子序列中的逆序个数。

2. 将左右子序列合并成一个有序序列，并统计左右子序列之间的逆序个数。

3. 将左右子序列逆序个数和左右子序列之间逆序个数相加，得到整个排列的逆序个数。

时间复杂度为O(nlogn)。

具体实现可以参考以下代码（Python）：

def count_inversions(arr):
if len(arr) <= 1:
return , arr
mid = len(arr) // 2
left_inv, left_arr = count_inversions(arr[:mid])
right_inv, right_arr = count_inversions(arr[mid:])
merge_inv, merged_arr = merge_and_count(left_arr, right_arr)
return left_inv + right_inv + merge_inv, merged_arr

def merge_and_count(left_arr, right_arr):
i, j = ,
inversions =
merged_arr = []
while i < len(left_arr) and j < len(right_arr):
if left_arr[i] <= right_arr[j]:
merged_arr.append(left_arr[i])
i += 1
else:
merged_arr.append(right_arr[j])
j += 1
inversions += len(left_arr) - i
merged_arr += left_arr[i:]
merged_arr += right_arr[j:]
return inversions, merged_arr

arr = [2, 3, 1]
inv_count, _ = count_inversions(arr)
print(inv_count) # 输出2

### 回答2：
对于一个长度为n的排列，我们可以通过穷举的方式找出其中所有逆序对，时间复杂度为O(n^2)。但是更加高效的方法是使用归并排序的思想。

归并排序的基本思想是将一个数组分成两个子数组，分别对子数组进行排序，然后将已经排好序的子数组合并为一个有序数组。在归并的过程中，我们可以统计逆序对的个数。具体来说，统计逆序对的方法为：

- 首先，将原始数组递归分成两个子数组，对这两个子数组进行排序；
- 接下来，将两个已经排好序的子数组合并为一个有序数组；
- 在合并的过程中，如果左边子数组的当前元素大于右边子数组的当前元素，则右边子数组中当前元素之前的所有元素都与左边当前元素构成逆序对，统计其个数。

具体代码实现如下：

int mergeSort(vector<int>& nums, vector<int>& tmp, int l, int r) {
    if (l >= r) { // 数组中只有一个元素时不需要排序
        return 0;
    }
    int mid = l + (r - l) / 2;
    int res = mergeSort(nums, tmp, l, mid) + mergeSort(nums, tmp, mid + 1, r); // 分别对左右两个子数组进行排序，并统计逆序对个数
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    while (i <= mid && j <= r) { // 合并两个有序子数组
        if (nums[i] <= nums[j]) {
            tmp[k++] = nums[i++];
        } else {
            res += mid - i + 1; // 统计逆序对
            tmp[k++] = nums[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= r) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    copy(tmp.begin() + l, tmp.begin() + r + 1, nums.begin() + l); // 将有序数组拷贝回原数组
    return res;
}

int countInversions(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<int> tmp(n);
    return mergeSort(nums, tmp, 0, n - 1);
}

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。

### 回答3：
这道题目可以使用分治法解决。具体来说，可以将原始序列分为两个子序列，分别计算它们内部的逆序对数目，再计算两个子序列之间的逆序对数目，最后将这些数目相加即可。

在计算两个子序列之间的逆序对数目时，可以采用归并排序的思想。将两个子序列分别按照从小到大的顺序排列，然后从两个子序列开头开始比较，将较小的元素放入新的序列中，并将指向该元素的指针向后移动一位。如果一个序列中的元素已经全部被放入新的序列中，那么另一个序列中剩余的元素都是逆序对，因为它们比新序列中的所有元素都大。

具体算法流程如下：

1. 定义一个函数，输入为一个数组a，输出为a中逆序对的个数count。

2. 如果a中元素个数小于等于1，则不存在逆序对，直接返回0。

3. 将a分为左右两个子数组left和right，对它们分别调用函数count，得到它们内部的逆序对数目count_left和count_right。

4. 对left和right进行归并排序，并统计left和right之间的逆序对数目count_merge。

5. 返回count_left+count_right+count_merge。

代码如下：

int count(int a[], int n) {
    if(n<=1) return 0;
    int mid=n/2, i, j, k, count_left, count_right, count_merge, count_all;
    int left[mid], right[n-mid];
    for(i=0; i<mid; i++) left[i]=a[i];
    for(j=0; j<n-mid; j++) right[j]=a[mid+j];
    count_left=count(left, mid);
    count_right=count(right, n-mid);
    for(i=0, j=0, k=0; i<mid && j<n-mid; ) {
        if(left[i]<=right[j]) {
            a[k++]=left[i++];
        }
        else {
            a[k++]=right[j++];
            count_merge+=mid-i;
        }
    }
    while(i<mid) a[k++]=left[i++];
    while(j<n-mid) a[k++]=right[j++];
    count_all=count_left+count_right+count_merge;
    return count_all;
}

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)（因为需要使用递归）。