给定N个数的序列a1,a2,...aN，定义一个数对(ai, aj)为“重要逆序对”的充要条件为 i < j 且 ai > 2aj。求给定序列中“重要逆序对”的个数。

题目描述

给定N个数的序列a1,a2,…,aN，定义一个数对(ai,aj)为“重要逆序对”的充要条件为i<j且ai>2aj。求给定序列中“重要逆序对”的个数。

输入格式
第一行一个整数N(1≤N≤105)，表示序列中数的个数。

第二行N个整数a1,a2,…,aN(1≤ai≤109)。

输出格式
输出一个整数，表示给定序列中“重要逆序对”的个数。

样例

输入样例：
5
1 3 2 4 5
输出样例：
2

算法1

(归并排序) $O(nlogn)$

我们借鉴归并排序中的分治思路，假设当前要排序的区间为[l,r]，可以将其拆分成两个区间：[l,mid]和[mid+1,r]，排序后合并。

我们可以在合并时统计重要逆序对的数量。此时我们已经分别求出了[l,mid]和[mid+1,r]中的重要逆序对数量，因此[l,mid]和[mid+1,r]中分别分别排序后的数组已经是有序的。

接下来，在合并[l,mid]和[mid+1,r]的过程中，假设当前[l,mid]中的剩余元素为[i,j]，[mid+1,r]中的剩余元素为[k,l']，其中[mid+1,r]中的前k-1个元素已经入到合并后的数组中，剩下的为[k,l']。

当我们将[l,mid]中的某个元素ai加入合并后的数组时，记下另一个区间中所有大于2ai的元素数量cnt，那么[cnt,mid+1]中的元素均为重要逆序对。

因为[mid+1,r]中的元素已经是有序的，因此在其后续的数中也不可能再有重复的重要逆序对。此时我们移动到下一个[l,mid]中的元素，同样记下另一个区间中所有大于2ai的元素数量cnt。

我们依此类推，最后统计出[l,mid]中的所有元素与[mid+1,r]中的重要逆序对数量之和即为答案。

时间复杂度

排序的时间复杂度是O(nlogn)，在合并时统计重要逆序对的数量的时间复杂度是O(n)，因此总时间复杂度是O(nlogn)。

C++ 代码

算法2

(线段树) $O(nlogn)$

线段树中每个节点表示[l,r]区间中每个元素的重要逆序对数量。

考虑每个节点如何合并成父节点的值。

假设一个节点表示的区间为[l,r]，左右子节点分别表示的区间为[l,mid]和[mid+1,r]，则当前节点表示的重要逆序对有三个来源：

子节点中来自[l,mid]的重要逆序对数量。

子节点中来自[mid+1,r]的重要逆序对数量。

跨越[l,mid]和[mid+1,r]的重要逆序对数量。该数量可以通过枚举[l,mid]中的每个元素ai，统计[mid+1,r]中所有大于2ai的元素数量cnt，那么在该区间中对该元素的贡献就是cnt。

为了方便合并，对于每个节点中的信息，我们需要维护三个信息：

划分区间[l,r]。

[l,r]中的元素按照从小到大的顺序排序后得到的数组。

[l,r]中重要逆序对数量。

这里我们仅讨论如何维护第一个和第三个信息，第二个信息可以在插入过程中维护。

由于线段树每个节点表示的区间长度为1，因此我们可以直接用一个整数数组来存储每个节点的信息。对于节点l，其左右子节点分别为2l和2l+1，父节点为l/2。

时间复杂度

每次查询树中的最大值需要O(logn)的时间，共需要查询n次，因此总时间复杂度是O(nlogn)。

C++ 代码