给定N个数的序列a1,a2,...aN,定义一个数对(ai, aj)为“重要逆序对”的充要条件为 i < j 且 ai > 2aj。求给定序列中“重要逆序对”的个数。

时间: 2023-05-27 10:04:03 浏览: 176
题目描述 给定N个数的序列a1,a2,…,aN,定义一个数对(ai,aj)为“重要逆序对”的充要条件为i<j且ai>2aj。求给定序列中“重要逆序对”的个数。 输入格式 第一行一个整数N(1≤N≤105),表示序列中数的个数。 第二行N个整数a1,a2,…,aN(1≤ai≤109)。 输出格式 输出一个整数,表示给定序列中“重要逆序对”的个数。 样例 输入样例: 5 1 3 2 4 5 输出样例: 2 算法1 (归并排序) $O(nlogn)$ 我们借鉴归并排序中的分治思路,假设当前要排序的区间为[l,r],可以将其拆分成两个区间:[l,mid]和[mid+1,r],排序后合并。 我们可以在合并时统计重要逆序对的数量。此时我们已经分别求出了[l,mid]和[mid+1,r]中的重要逆序对数量,因此[l,mid]和[mid+1,r]中分别分别排序后的数组已经是有序的。 接下来,在合并[l,mid]和[mid+1,r]的过程中,假设当前[l,mid]中的剩余元素为[i,j],[mid+1,r]中的剩余元素为[k,l'],其中[mid+1,r]中的前k-1个元素已经入到合并后的数组中,剩下的为[k,l']。 当我们将[l,mid]中的某个元素ai加入合并后的数组时,记下另一个区间中所有大于2ai的元素数量cnt,那么[cnt,mid+1]中的元素均为重要逆序对。 因为[mid+1,r]中的元素已经是有序的,因此在其后续的数中也不可能再有重复的重要逆序对。此时我们移动到下一个[l,mid]中的元素,同样记下另一个区间中所有大于2ai的元素数量cnt。 我们依此类推,最后统计出[l,mid]中的所有元素与[mid+1,r]中的重要逆序对数量之和即为答案。 时间复杂度 排序的时间复杂度是O(nlogn),在合并时统计重要逆序对的数量的时间复杂度是O(n),因此总时间复杂度是O(nlogn)。 C++ 代码 算法2 (线段树) $O(nlogn)$ 线段树中每个节点表示[l,r]区间中每个元素的重要逆序对数量。 考虑每个节点如何合并成父节点的值。 假设一个节点表示的区间为[l,r],左右子节点分别表示的区间为[l,mid]和[mid+1,r],则当前节点表示的重要逆序对有三个来源: 子节点中来自[l,mid]的重要逆序对数量。 子节点中来自[mid+1,r]的重要逆序对数量。 跨越[l,mid]和[mid+1,r]的重要逆序对数量。该数量可以通过枚举[l,mid]中的每个元素ai,统计[mid+1,r]中所有大于2ai的元素数量cnt,那么在该区间中对该元素的贡献就是cnt。 为了方便合并,对于每个节点中的信息,我们需要维护三个信息: 划分区间[l,r]。 [l,r]中的元素按照从小到大的顺序排序后得到的数组。 [l,r]中重要逆序对数量。 这里我们仅讨论如何维护第一个和第三个信息,第二个信息可以在插入过程中维护。 由于线段树每个节点表示的区间长度为1,因此我们可以直接用一个整数数组来存储每个节点的信息。对于节点l,其左右子节点分别为2l和2l+1,父节点为l/2。 时间复杂度 每次查询树中的最大值需要O(logn)的时间,共需要查询n次,因此总时间复杂度是O(nlogn)。 C++ 代码

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