尽量用文字简述向量多指标规划问题 在可行域 X 上进行求解的目标点法的基本思想
时间: 2024-04-02 19:35:10 浏览: 7
向量多指标规划问题是指在多个目标函数下,通过优化一个向量目标函数来求解最优解的问题。可行域 X 是指在满足一定约束条件下,所有可行的解构成的集合。目标点法的基本思想是:先假定一个合理的目标点,然后通过一系列迭代步骤来逐步逼近最优解。具体的步骤如下:
1.选择一个合理的目标点,并将其作为初始点。
2.计算出目标点到所有可行解的距离,并找到距离最近的可行解。
3.将距离最近的可行解作为新的目标点,并重复步骤2。
4.当目标点不再改变或达到一定的迭代次数时停止迭代,此时得到的目标点即为最优解。
目标点法主要用于解决多目标规划问题,其优点是可以同时考虑多个目标函数,得到一组最优解,更符合实际应用需求。
相关问题
二阶段法求解辅助问题的最优基本可行解是x,则x原问题的
二阶段法是一种解决线性规划问题的方法。它将原问题分解为两个子问题:主问题和辅助问题。首先,通过辅助问题求得一个最优基本可行解,然后将这个解带入到主问题中求解,得到原问题的最优解。
假设我们通过二阶段法求解辅助问题时得到的最优基本可行解为x。那么,根据二阶段法的原理,我们可以得出以下结论:
1. 辅助问题是原问题的一个人工问题,它的目标是找到一组初始基,使得目标函数取得最小值为0。这个最优基本可行解x就是找到的这组初始基。
2. 在辅助问题中,我们引入了一个人工变量来帮助求解。如果最优基本可行解x中的人工变量的值为0,则说明经过人工变量的变换后,目标函数已经达到最小值为0,即找到了一组满足约束条件的初始基。
3. 通过求解辅助问题得到的最优基本可行解x,可以带入到主问题中继续求解。由于x是一组满足约束条件的初始基,所以将x带入到主问题中,可以从初始基开始进行迭代运算,求得原问题的最优解。
综上所述,通过二阶段法求解辅助问题得到的最优基本可行解x,具有以下特点:它是一组满足约束条件的初始基,并且可以带入到主问题中继续求解。因此,x是原问题的一个最优解的候选解,可以用来进一步求解原问题。
分层单存形法求解该完全分层多目标规划问题
分层单存形法(Lexicographic Goal Programming)可以用来求解完全分层多目标规划问题。该方法将多目标规划问题转化为一系列单目标规划问题,对每个单目标规划问题进行求解,直到得到一个满足所有目标函数约束的解。
具体地,分层单存形法的求解过程如下:
1. 将目标函数按重要性顺序排序,得到 $f_1(x) \geq f_2(x) \geq ... \geq f_m(x)$。
2. 对于每个目标函数 $f_k(x)$,定义一个偏差变量 $d_k$,并对其进行约束,得到单目标规划问题:
$\max\limits_{x\in X} f_k(x)$
s.t. $f_j(x) - f_j^* \leq d_j$,对 $j = 1,2,...,k-1$,其中 $f_j^*$ 为目标函数 $f_j(x)$ 的目标值。
$d_j \geq 0$,对 $j = 1,2,...,k-1$。
上述模型的含义是,对于目标函数 $f_k(x)$,最大化其值;对于目标函数 $f_j(x)$,要求其偏差 $d_j$ 不超过目标值与已确定目标函数的最优值之差。
3. 解决单目标规划问题:对于每个单目标规划问题,可以采用现有的单目标规划方法(如线性规划、非线性规划等)进行求解,得到一个最优解 $x_k^*$。
4. 检验解的可行性:对于每个解 $x_k^*$,检验其是否满足所有目标函数约束条件。
5. 更新目标函数约束:如果某个解 $x_k^*$ 不满足某个目标函数约束条件,则将该目标函数的偏差 $d_j$ 增加一定的量,重新求解单目标规划问题;如果所有解都满足所有目标函数约束条件,则得到了一个最优解。
在本题中,按照重要性顺序排序的目标函数为 $f_1(x) = -(x_1 + x_2 - 1)^2$,$f_2(x) = -(2 - x_1 - x_2)^2$ 和 $f_3(x) = -x_1$。按照上述步骤,可以得到如下的分层单存形模型:
Step 1: $f_1(x) \geq f_2(x) \geq f_3(x)$
Step 2:
Maximize $f_1(x)$
subject to:
$-(x_1 + x_2 - 1)^2 - f_1^* \leq d_1$
$d_1 \geq 0$
Maximize $f_2(x)$
subject to:
$-(2 - x_1 - x_2)^2 - f_2^* \leq d_2$
$d_2 \geq 0$
Maximize $f_3(x)$
subject to:
$-x_1 - f_3^* \leq d_3$
$d_3 \geq 0$
Step 3:
Solve the following single objective problems in order:
1. Maximize $f_1(x)$
2. Maximize $f_2(x)$ subject to $-(x_1 + x_2 - 1)^2 - f_1^* \leq d_1$ and $d_1 \geq 0$
3. Maximize $f_3(x)$ subject to $-(x_1 + x_2 - 1)^2 - f_1^* \leq d_1$, $-(2 - x_1 - x_2)^2 - f_2^* \leq d_2$ and $d_1, d_2 \geq 0$
Step 4: Check the feasibility of the solutions obtained in Step 3.
Step 5: If any of the obtained solutions violates any of the objective function constraints, increase the corresponding deviation variable and repeat Steps 3-4; otherwise, the obtained solution is optimal.
需要注意的是,分层单存形法得到的解并不一定是帕累托最优解,而是满足目标函数约束的最优解。