在一个有限的集合 S中,有 n 个元素。其中,A,B,C 为 S 的三个子集,且 |A| = 10,|B| = 15,|C| = 20。求至少属于其中一个子集的元素个数。
时间: 2023-11-01 07:28:40 浏览: 24
这个问题可以用容斥原理来解决。
首先,属于 A 或者 B 或者 C 的元素个数可以用如下公式计算:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
其中,|A ∩ B| 表示既属于 A 又属于 B 的元素个数,|A ∩ C| 表示既属于 A 又属于 C 的元素个数,|B ∩ C| 表示既属于 B 又属于 C 的元素个数,|A ∩ B ∩ C| 表示既属于 A 又属于 B 又属于 C 的元素个数。
因为 A、B、C 都是 S 的子集,所以它们的交集也是 S 的子集。而 S 的元素个数为 n,所以 |A ∩ B ∩ C| ≤ n。因此,可以得到:
|A ∪ B ∪ C| ≥ |A| + |B| + |C| - 2n
代入题目中的数据,可以得到:
|A ∪ B ∪ C| ≥ 10 + 15 + 20 - 2 × 45 = 5
因此,至少属于其中一个子集的元素个数为 5。
相关问题
题目:在一个有限的集合 S中,有 n 个元素。其中,A,B,C 为 S 的三个子集,且 |A| = 10,|B| = 15,|C| = 20。求至少属于其中一个子集的元素个数。
根据容斥原理,三个集合的并集中元素的个数可以表示为:
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
将已知的数值带入上式,得到:
|A∪B∪C| = 10 + 15 + 20 - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
要求至少属于其中一个子集的元素个数,也就是求 |A∪B∪C|。因此,我们只需要求出交集的大小即可。
根据容斥原理,三个集合的交集中元素的个数可以表示为:
|A∩B∩C| = |S| - |S\A| - |S\B| - |S\C|
其中,|S| = n,|S\A| = n - 10,|S\B| = n - 15,|S\C| = n - 20。
将已知的数值带入上式,得到:
|A∩B∩C| = n - (n - 10) - (n - 15) - (n - 20) = 5 + n
将 |A∩B∩C| 的值带回前面的式子,得到:
|A∪B∪C| = 10 + 15 + 20 - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + (5 + n)
我们需要求解的是至少属于其中一个子集的元素个数,因此可以得出:
至少属于其中一个子集的元素个数 = |A∪B∪C| = 10 + 15 + 20 - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + (5 + n)
给定一个集合s(集合元素数量<=30),求出此集合所有子集元素之和。
题目:给定一个集合S(集合元素数量<=30),求出此集合所有子集元素之和。
回答:此题为求幂集的和,可以使用数学排列组合的知识来求解。由于集合元素为整数,所以可以使用二进制数表示每个元素是否在子集中出现。假设集合S共有n个元素,则子集个数为2^n个,也就是说,每个子集可以用长度为n的0/1串来表示,其中1的位置代表该位置对应的元素在子集中出现,0则代表不出现。因此,我们只需要枚举所有长度为n的0/1串,将其中为1的位置所对应的元素相加即可得到子集元素之和。具体实现细节可以参考如下代码:
```python
def subset_sum(s):
n = len(s)
# 枚举所有 01 串,其中 1 代表该元素在子集中出现
res = 0
for i in range(1 << n):
cur_sum = 0
for j in range(n):
if i & (1 << j):
cur_sum += s[j]
res += cur_sum
return res
```
例如,对于集合S={1,2,3},该函数的返回值为1+2+3+1+2+1+3+2+3=15。