已知y=1+1/3+1/5+…+1/2n-1: 求y<3时的最大n值以及最大n值对应的y值(y值保留小数点后2位)。(认真审题)
根据题意,可以得出y的表达式为:y = 1/1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1)。当y<3时,我们需要求出最大的n值。
通过计算,当n=7时,y的值为2.83,小于3。因此,最大的n值为7,最大n值对应的y值为2.83。
已知y=1+1/3+1/5+…+1/2n-1: 求y<3时的最大n值以及最大n值对应的y值(y值保留小数点后2位)
我们可以先将y进行化简:
y = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1)
将分母中的奇数项提出来,可以得到:
y = 1 + (1/3 + 1/5) + (1/7 + 1/9) + ... + (1/(2n-3) + 1/(2n-1))
对于每一对括号中的分数,我们可以使用以下不等式进行估计:
1/(2k-1) + 1/(2k+1) > 2/(2k+1) = 2/(2(k+1)-1)
因此,我们可以将每一对括号中的分数进行合并:
y < 1 + 2/3 + 2/5 + ... + 2/(2n-1)
化简后可以得到:
y < 1 + 2 * (1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1))
接下来,我们可以使用以下不等式进行估计:
1/2k-1 > 1/(2k-1) - 1/(2k)
因此,我们可以将每一项中的分数进行合并:
y < 1 + 2 * (1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + 1/(2n) - 1/(2n-1))
化简后可以得到:
y < 1 + 2 * (1/2 - 1/(2n))
我们要求y<3时的最大n值,因此将上式中的y代入得:
1 + 2 * (1/2 - 1/(2n)) < 3
化简后可以得到:
1/n < 2/5
因此,最大的n值为5,此时的y值为:
y = 1 + 2 * (1/2 - 1/(2n)) = 1 + 2 * (1/2 - 1/10) = 1.8
因此,y<3时的最大n值为5,最大n值对应的y值为1.8。
已知y=1+1/3+1/5+…+1/2n-1:求y<3时的最大n值以及最大n值对应的y值(y值保留小数点后2位)。
首先可以求出 $y$ 的前几项,得到:
$$ y_1=1,\quad y_2=1+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3},\quad y_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=1\frac{4}{15},\quad y_4=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=1\frac{47}{315},\quad y_5=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=1\frac{157}{2835},\quad \cdots $$
观察上面的数列,可以发现 $y$ 的每一项都是一个分数,且分母是奇数。因此,我们可以考虑将每一项写成通分数的形式,即:
$$ y_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n-1}=\frac{2n-1}{2n-1}+\frac{2n-3}{3(2n-1)}+\frac{2n-5}{5(2n-1)}+\cdots+\frac{1}{(n-1)(2n-1)}=\frac{a_n}{b_n} $$
其中 $a_n$ 表示通分后的分子,$b_n$ 表示通分后的分母。接下来,我们考虑如何找到满足 $y<3$ 的最大 $n$ 值。
当 $n=1$ 时,$y_1=1<3$,满足条件。当 $n=2$ 时,$y_2=1\frac{1}{3}<3$,也满足条件。当 $n=3$ 时,$y_3=1\frac{4}{15}<3$,依然满足条件。当 $n=4$ 时,$y_4=1\frac{47}{315}<3$,仍然满足条件。当 $n=5$ 时,$y_5=1\frac{157}{2835}<3$,同样满足条件。但当 $n=6$ 时,$y_6=1\frac{863}{155925}>3$,不满足条件。因此,满足条件的最大 $n$ 值为 $5$,对应的 $y$ 值为 $1\frac{157}{2835}\approx 1.055$(保留小数点后 $2$ 位)。
综上所述,满足 $y<3$ 的最大 $n$ 值为 $5$,对应的 $y$ 值为 $1.06$。