采用邻接矩阵存储构造无向图

邻接矩阵是一种用于表示图的数据结构，它可以用来存储有向图或无向图。对于无向图，我们可以采用邻接矩阵来存储它。

邻接矩阵是一个二维数组，其中第 i 行第 j 列表示顶点 i 和 j 之间是否有一条边。如果有，则该位置的值为 1，否则为 0。对于无向图，由于边是双向的，因此邻接矩阵是对称的。

下面是一个存储无向图的邻接矩阵的示例：

   1  2  3  4  5
1  0  1  1  0  1
2  1  0  0  1  0
3  1  0  0  1  1
4  0  1  1  0  1
5  1  0  1  1  0

在这个例子中，共有五个顶点，分别编号为 1、2、3、4 和 5。第 i 行第 j 列的值为 1，表示顶点 i 和 j 之间有一条边；如果为 0，则表示它们之间没有边。例如，第 1 行第 2 列和第 5 行第 1 列的值均为 1，表示顶点 1 和 2、顶点 5 和 1 之间都有一条边。

这种存储方式的优点是可以快速地检查两个顶点之间是否有边，时间复杂度为 O(1)；缺点是占用空间较大，需要 O(n^2) 的空间来存储。此外，当图中的边比较稀疏时，邻接矩阵的效率会降低，因为大部分空间都被浪费了。

相关问题

用邻接矩阵存储结构创建无向图

创建无向图的邻接矩阵存储结构需要以下步骤：

1.定义一个结构体来表示图的邻接矩阵存储结构，包括顶点数vexnum、边数arcnum和邻接矩阵arcs。

2.根据输入的顶点数和边数，动态分配邻接矩阵所需的空间。

3.初始化邻接矩阵，将所有元素初始化为0。

4.根据输入的边信息，更新邻接矩阵。对于无向图，如果有一条边连接了顶点i和顶点j，则邻接矩阵中arcs[i][j]和arcs[j][i]都应该被赋值为该边的权值。

5.创建成功后，返回该图的邻接矩阵存储结构。

以下是一个示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_VERTEX_NUM 100

typedef struct {
    int vexnum; // 顶点数
    int arcnum; // 边数
    int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; // 邻接矩阵
} Graph;

Graph* createGraph() {
    Graph* G = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));
    if (G == NULL) {
        printf("Memory allocation failed.\n");
        return NULL;
    }
    printf("Please enter the number of vertices and edges of the graph: ");
    scanf("%d,%d", &G->vexnum, &G->arcnum);
    if (G->vexnum <= 0 || G->arcnum <= 0) {
        printf("Invalid input.\n");
        return NULL;
    }
    for (int i = 0; i < G->vexnum; i++) {
        for (int j = 0; j < G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j] = 0;
        }
    }
    printf("Please enter the information of each edge in the format of 'v1,v2,weight':\n");
    for (int k = 0; k < G->arcnum; k++) {
        char v1, v2;
        int weight;
        scanf(" %c,%c,%d", &v1, &v2, &weight);
        int i = v1 - 'A';
        int j = v2 - 'A';
        G->arcs[i][j] = weight;
        G->arcs[j][i] = weight;
    }
    return G;
}

int main() {
    Graph* G = createGraph();
    if (G != NULL) {
        printf("The adjacency matrix of the graph is:\n");
        for (int i = 0; i < G->vexnum; i++) {
            for (int j = 0; j < G->vexnum; j++) {
                printf("%d ", G->arcs[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

设计一个有向图和一个无向图，建立图的邻接矩阵或邻接表的存储结构，完成有向图和无向图的dfs（深度优先遍历）和bfs（广度优先遍历）的操作。（有向图采用邻接矩阵存储，无向图采用邻接表存储）

### 回答1：
有向图邻接矩阵存储结构：

假设有向图有5个顶点，顶点分别为V1、V2、V3、V4、V5，边分别为(V1,V2)、(V1,V4)、(V2,V3)、(V2,V5)、(V3,V4)、(V4,V5)，邻接矩阵存储结构如下：

V1 V2 V3 V4 V5
V1 1 1
V2 1 1
V3 1
V4 1
V5

有向图dfs操作：

从V1开始遍历，先访问V1，再访问V2，再访问V3，再访问V4，最后访问V5。

有向图bfs操作：

从V1开始遍历，先访问V1，再访问V2，再访问V4，再访问V3，最后访问V5。

无向图邻接表存储结构：

假设无向图有5个顶点，顶点分别为V1、V2、V3、V4、V5，边分别为(V1,V2)、(V1,V4)、(V2,V3)、(V2,V5)、(V3,V4)、(V4,V5)，邻接表存储结构如下：

V1 -> V2 -> V4
V2 -> V1 -> V3 -> V5
V3 -> V2 -> V4
V4 -> V1 -> V3 -> V5
V5 -> V2 -> V4

无向图dfs操作：

从V1开始遍历，先访问V1，再访问V2，再访问V3，再访问V4，最后访问V5。

无向图bfs操作：

从V1开始遍历，先访问V1，再访问V2，再访问V4，再访问V3，最后访问V5。

### 回答2：
设计一个有向图和一个无向图的邻接矩阵和邻接表

有向图的邻接矩阵:

   1 2 3 4
1  0 1 1 0
2  0 0 1 0
3  0 0 0 1
4  0 0 0 0

有向图的邻接表:

1->2->3
2->3
3->4
4->null

无向图的邻接矩阵:

   1 2 3 4 
1  0 1 1 0
2  1 0 1 1
3  1 1 0 0
4  0 1 0 0

无向图的邻接表:

1->2->3
2->1->3->4
3->1->2
4->2

DFS深度优先遍历（有向图）：
按照某个节点开始，访问该节点，递归访问其邻居节点，回溯到上一个节点继续遍历其邻居节点。使用栈实现，先访问的节点先入栈。
算法步骤：
1. 从起点开始遍历，并将其标记为已访问
2. 将该节点入栈
3. 将该节点的邻居节点依次入栈，并递归访问其邻居节点
4. 如果该节点没有邻居节点或其邻居节点都被标记为已访问，则将该节点弹出栈，回溯到上一节点

DFS深度优先遍历（无向图）：
与有向图的遍历类似，只是将有向图中的入度和出度改为度数，在遍历时需考虑重复访问的情况。使用栈实现，先访问的节点先入栈。
算法步骤：
1. 从起点开始遍历，并将其标记为已访问
2. 将该节点入栈
3. 将该节点的未访问过的邻居节点依次入栈，并递归访问其邻居节点
4. 如果该节点没有未访问的邻居节点，则将该节点弹出栈，回溯到上一节点

BFS广度优先遍历（有向图）：
从一个起点开始遍历，先访问它的邻居节点，再访问邻居节点的邻居节点，以此类推，直至访问完整张图。使用队列实现，先访问的节点先进队列。
算法步骤：
1. 将起点入队，并将其标记为已访问
2. 取出队首节点，并依次访问其未访问的邻居节点，将其标记为已访问，并入队
3. 重复步骤2，直至队列为空

BFS广度优先遍历（无向图）：
与有向图的遍历类似，只是将有向图中的入度和出度改为度数，在遍历时需考虑重复访问的情况。使用队列实现，先访问的节点先进队列。
算法步骤：
1. 将起点入队并将其标记为已访问
2. 取出队首节点的未访问过的邻居节点，并依次访问，将其标记为已访问，并入队
3. 重复步骤2，直至队列为空

邻接矩阵和邻接表的存储方式不同，但是深度优先遍历和广度优先遍历的算法思路是相同的，只是数据结构的不同导致了实现的细节有所不同。在实际应用中，对于较大规模的图，邻接表的存储方式更有效率。

### 回答3：
一、有向图的邻接矩阵存储结构

我们设计一个有向图，表示5个城市之间的直达道路情况，如下所示：

1 -- 2 -- 3
| \/ |
| /\ |
4 -- 5

邻接矩阵是有向图的常见存储结构，它用一个二维数组来表示图中各个节点之间的关系。定义邻接矩阵G[i][j]表示从i到j有一条边，则有向图的邻接矩阵为：

1 2 3 4 5
1 0 1 0 1 1
2 0 0 1 0 1
3 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 1
5 0 0 0 0 0

其中，0表示没有边相连，1表示有边相连。

邻接矩阵的优点在于可以快速判断两个节点之间是否存在连通关系，但需要占用大量的存储空间。

有向图的DFS和BFS的实现过程与无向图类似，具体实现方法可参考下面的代码示例。

二、无向图的邻接表存储结构

以同样的城市道路为例，我们可以将这个图构建成无向图，如下所示：

1 -- 2 -- 3
| | |
4 -- 5 |

邻接表是一种常见的无向图存储结构，它是通过链表来表示一个节点的相邻节点的集合。用一个数组来存放所有的节点，每个节点通过一个链表来存储它的所有相邻节点。邻接表的定义如下：

struct AdjListNode {
    int dest;
    struct AdjListNode* next;
};

struct AdjList {
    struct AdjListNode* head;
};

class Graph {
    int V;
    struct AdjList* adj;
public:
    Graph(int V) {
        this->V = V;
        adj = new AdjList[V];
        for(int i=0;i<V;i++)
            adj[i].head = NULL;
    }
    void addEdge(int src, int dest) {
        AdjListNode* newNode = new AdjListNode;
        newNode->dest = dest;
        newNode->next = adj[src].head;
        adj[src].head = newNode;
        newNode = new AdjListNode;
        newNode->dest = src;
        newNode->next = adj[dest].head;
        adj[dest].head = newNode;
    }
    void BFS(int s);
    void DFS(int s);
};

void Graph::BFS(int s) {
    bool visited[V];
    for(int i=0;i<V;i++) visited[i] = false;
    queue<int> q;
    visited[s] = true;
    q.push(s);
    while(!q.empty()) {
        int v = q.front();
        cout << v << " ";
        q.pop();
        for(AdjListNode* p = adj[v].head;p != NULL;p=p->next) {
            int w = p->dest;
            if(!visited[w]) {
                visited[w] = true;
                q.push(w);
            }
        }
    }
}

void dfs(int v, bool visited[], struct AdjList adj[]) {
    visited[v] = true;
    cout << v << " ";
    for(AdjListNode* p=adj[v].head;p!=NULL;p=p->next) {
        int w = p->dest;
        if(!visited[w])
            dfs(w,visited,adj);
    }
}
void Graph::DFS(int s) {
    bool visited[V];
    for(int i=0;i<V;i++) visited[i] = false;
    dfs(s,visited,adj);
}

至此，我们已经完成了无向图的DFS和BFS的实现过程。通过邻接表可以大大节省存储空间，但查找是否存在连通关系时要遍历链表，耗时较长。