条件概率分布最大化转变函数
时间: 2023-11-11 19:18:55 浏览: 55
条件概率分布最大化转变函数指的是将一个最大化条件概率分布的问题转化为一个最小化交叉熵的问题。
具体来说,假设有一个分类问题,需要将输入数据 $x$ 分类到类别 $y$ 中,其中 $y$ 取值于 $1$ 到 $k$,$p(y|x)$ 表示给定输入数据 $x$ 时,分类为 $y$ 的概率,$p(y)$ 表示类别 $y$ 的先验概率。
最大化条件概率分布的问题可以表示为:
$$\max_{p(y|x)}\prod_{i=1}^np(y_i|x_i)$$
其中 $n$ 表示样本数。
通过对数变换,上式可以转化为:
$$\max_{p(y|x)}\sum_{i=1}^n\log p(y_i|x_i)$$
然而,由于类别 $y$ 是离散的,所以直接最优化 $p(y|x)$ 是困难的。因此,我们引入了一个新的变量 $z$,表示将 $x$ 分类到 $y$ 的过程,即 $z$ 是一个 $k$ 维的 one-hot 向量,其中 $z_j=1$ 表示分类为 $j$,$z_{i\neq j}=0$。
于是,我们可以将条件概率分布表示为:
$$p(y|x)=\sum_{z}p(y,z|x)$$
其中 $z$ 取值于所有可能的 one-hot 向量,$p(y,z|x)$ 表示给定输入数据 $x$,将其分类为 $y$ 并且 $z$ 为真实分类的概率。
然后,我们可以将上式展开得到:
$$\log p(y|x)=\log\sum_{z}p(y,z|x)$$
利用 Jensen 不等式,可以得到:
$$\log\sum_{z}p(y,z|x)\geq\sum_{z}q(z)\log\frac{p(y,z|x)}{q(z)}$$
其中 $q(z)$ 是一个任意的分布,可以是 $z$ 的先验分布。
于是,我们可以得到最小化交叉熵的问题:
$$\min_{q(z)}\sum_{i=1}^n\sum_{z}q(z)\log\frac{p(y_i,z|x_i)}{q(z)}$$
其中 $q(z)$ 是一个任意的分布,可以是 $z$ 的先验分布。
通过这种方式,我们将最大化条件概率分布的问题转化为了一个最小化交叉熵的问题。