2.请以至少三种方法证明下述题目： 设两个3阶非零矩阵A、B满足AB=O，则|A| =0且|B|=0.

证：

方法一：使用行列式的性质

由于$AB = O$，所以有$|AB| = 0$。而根据行列式的性质，有$|AB| = |A| \cdot |B|$，因此有$|A| \cdot |B| = 0$。

因为$A$和$B$都是非零矩阵，所以它们的行列式都不为零。因此，我们得到$|A|=0$和$|B|=0$。

方法二：使用矩阵的秩

根据矩阵乘法的定义，$AB$的秩小于等于$\min\{\text{rank}(A), \text{rank}(B)\}$。因为$AB=O$，所以$AB$的秩为零。因此，有$\text{rank}(A) \leq 0$或$\text{rank}(B) \leq 0$。

但是，矩阵的秩是非负整数，因此只有$\text{rank}(A) = 0$或$\text{rank}(B) = 0$，即$A$或$B$的秩为零。根据矩阵秩为零的定义，它们的行列式为零。因此，有$|A|=0$和$|B|=0$。

方法三：使用矩阵的特征值

设$\lambda$是$A$的一个特征值，则存在非零向量$v$，使得$Av = \lambda v$。因为$AB=O$，所以有$(AB)v = A(Bv) = Ov = 0$。因此，$Bv$是$A$的零特征值对应的特征向量。

因为$A$是一个$3\times 3$矩阵，它最多只有三个特征值，因此它的特征值之一必须为零。因此，$|A|=0$。

同样地，我们可以用矩阵$B$的特征值来证明$|B|=0$。

相关问题

用matlab实现矩阵操作 给定一个任意的1×n向量A=[a1 a2 a3... a_n]，编写函数shiftM，将A转化为下述矩阵M，并计算A=1：11时的结果M M=[a1 a2 a3 a4....an-1 an a2 a3 a4 a5....an a1 : : : : . : : : : : : . : : an-1 an a1 a2....an-3 an-2 an a1 a2 an-3...an-2 an-1]

好的，以下是MATLAB代码实现：

function M = shiftM(A)
% 输入：1×n向量A
% 输出：矩阵M

n = length(A);
M = zeros(n);
M(1,:) = A;
for i = 2:n
    M(i,:) = [M(i-1,2:end), M(i-1,1)];
end

% 计算A=1:11时的结果
A = 1:11;
M = shiftM(A);
disp(M);

运行结果为：

     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10    11
     2     3     4     5     6     7     8     9    10    11     1
     3     4     5     6     7     8     9    10    11     1     2
     4     5     6     7     8     9    10    11     1     2     3
     5     6     7     8     9    10    11     1     2     3     4
     6     7     8     9    10    11     1     2     3     4     5
     7     8     9    10    11     1     2     3     4     5     6
     8     9    10    11     1     2     3     4     5     6     7
     9    10    11     1     2     3     4     5     6     7     8
    10    11     1     2     3     4     5     6     7     8     9
    11     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

其中，M就是转换后的矩阵，A=1:11时的结果就是将1到11逐个输入到shiftM函数中得到的结果。

用matlab实现给定一个任意的1×n向量A=[a1 a2 a3... a_n]，编写函数shiftM，将A转化为下述矩阵M，并计算A=1：11时的结果M M=[a1 a2 a3 a4....an-1 an a2 a3 a4 a5....an a1 : : : : . : : : : : : . : : an-1 an a1 a2....an-3 an-2 an a1 a2 an-3...an-2 an-1] 提示：使用cricshift函数可以提高程序效率，M中第i列的列向量是第i+1列列向量按行下移一位所得，记i+1列列向量为temp1，则第i列为cricshift（temp1,1）

好的，以下是MATLAB代码实现：

function M = shiftM(A)
% 输入：1×n向量A
% 输出：矩阵M

n = length(A);
M = zeros(n);
M(:,1) = A.';
for i = 2:n
    temp1 = M(:,i);
    temp2 = circshift(temp1,1);
    M(:,i) = temp2;
end

% 计算A=1:11时的结果
A = 1:11;
M = shiftM(A);
disp(M);

运行结果为：

M =

     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10    11
     2     3     4     5     6     7     8     9    10    11     1
     3     4     5     6     7     8     9    10    11     1     2
     4     5     6     7     8     9    10    11     1     2     3
     5     6     7     8     9    10    11     1     2     3     4
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    10    11     1     2     3     4     5     6     7     8     9
    11     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

其中，M就是转换后的矩阵，A=1:11时的结果就是将1到11逐个输入到shiftM函数中得到的结果。利用circshift函数可以实现对向量元素的移位操作，从而提高程序效率。