用Legendre正交多项式求f(x)=ex在[1, 2]上的三次最佳平方逼近多项式

首先，我们需要将区间[1,2]映射到[-1,1]上，使用变换x = 2t-3，则x ∈ [1,2] 变为 t ∈ [-1,1]。

Legendre正交多项式Pn(x)的定义如下：
1. P0(x) = 1
2. P1(x) = x
3. Pn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)]/n

在区间[-1,1]上，前几个Legendre正交多项式P0(x), P1(x), P2(x), P3(x)分别为：
P0(x) = 1
P1(x) = x
P2(x) = (3x^2 - 1)/2
P3(x) = (5x^3 - 3x)/2

使用Legendre正交多项式求f(x)=ex在[1, 2]上的三次最佳平方逼近多项式的步骤如下：
1. 将区间[1,2]映射到[-1,1]上，得到t ∈ [-1,1]
2. 计算Legendre正交多项式P0(t), P1(t), P2(t), P3(t)
3. 根据最佳平方逼近的定义，设最佳平方逼近多项式为P(t)，则P(t)应该是f(t)在{P0(t), P1(t), P2(t), P3(t)}上的线性组合，即P(t) = a0P0(t) + a1P1(t) + a2P2(t) + a3P3(t)
4. 求解系数a0, a1, a2, a3，使得P(t)是f(t)的最佳平方逼近多项式。具体来说，我们需要最小化误差函数E = ∫(f(t)-P(t))^2 dt，其中积分区间为[-1,1]。根据最小二乘法的原理，求解系数的公式为：
a0 = ∫f(t)P0(t)dt / ∫P0^2(t)dt
a1 = ∫f(t)P1(t)dt / ∫P1^2(t)dt
a2 = ∫f(t)P2(t)dt / ∫P2^2(t)dt
a3 = ∫f(t)P3(t)dt / ∫P3^2(t)dt
5. 将得到的系数代入P(t)，即可得到f(x)=ex在[1, 2]上的三次最佳平方逼近多项式。

具体计算如下：
1. 将区间[1,2]映射到[-1,1]上，得到t ∈ [-1,1]，即t = 2x-3
2. 计算Legendre正交多项式P0(t), P1(t), P2(t), P3(t)
P0(t) = 1
P1(t) = t
P2(t) = (3t^2 - 1)/2
P3(t) = (5t^3 - 3t)/2
3. 求解系数a0, a1, a2, a3
a0 = ∫f(t)P0(t)dt / ∫P0^2(t)dt = ∫e^(2t-3)dt / ∫1 dt = (1/2)(e^(-1)-1)
a1 = ∫f(t)P1(t)dt / ∫P1^2(t)dt = ∫te^(2t-3)dt / ∫t^2 dt = (1/2)(e^(-1)-3)
a2 = ∫f(t)P2(t)dt / ∫P2^2(t)dt = ∫(3t^2-1)e^(2t-3)dt / ∫(3t^2-1)^2/4 dt = (1/2)(e^(-1)-11/3)
a3 = ∫f(t)P3(t)dt / ∫P3^2(t)dt = ∫(5t^3-3t)e^(2t-3)dt / ∫(5t^3-3t)^2/4 dt = (1/2)(e^(-1)-49/15)
4. 带入P(t)的公式，得到最佳平方逼近多项式
P(t) = a0P0(t) + a1P1(t) + a2P2(t) + a3P3(t)
= (1/2)(e^(-1)-1) + (1/2)(e^(-1)-3)t + (1/2)(e^(-1)-11/3)(3t^2-1)/2 + (1/2)(e^(-1)-49/15)(5t^3-3t)/2
5. 将t = 2x-3代入P(t)，即可得到f(x)=ex在[1, 2]上的三次最佳平方逼近多项式：
P(x) = (1/2)(e^(-1)-1) + (1/2)(e^(-1)-3)(2x-3) + (1/2)(e^(-1)-11/3)(3(2x-3)^2-1)/2 + (1/2)(e^(-1)-49/15)(5(2x-3)^3-3(2x-3))/2