贝叶斯线性回归典例及代码

贝叶斯线性回归（Bayesian Linear Regression）是一种基于贝叶斯统计学的线性回归方法，它可以通过对数据的先验分布进行估计，来得到更加准确的预测结果。以下是一个简单的贝叶斯线性回归的典例和代码：

假设我们有一组数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，其中 $x_i$ 表示第 $i$ 个样本的特征值，$y_i$ 表示第 $i$ 个样本的目标值。我们希望通过这些数据来预测一个新的样本的目标值。

贝叶斯线性回归的基本思想是，假设目标值 $y$ 是由一个线性函数 $\theta^{T} x$ 生成的，其中 $\theta$ 是一个待估计的参数向量，$x$ 是样本的特征向量。我们假设 $\theta$ 的先验分布是一个高斯分布，即 $\theta \sim N(\mu_0, \Sigma_0)$，其中 $\mu_0$ 和 $\Sigma_0$ 是先验分布的均值和协方差矩阵。

根据贝叶斯定理，我们可以求得后验分布 $p(\theta | X, y)$，其中 $X$ 是所有样本的特征矩阵，$y$ 是所有样本的目标向量。后验分布可以表示为：

$$p(\theta | X, y) \propto p(y | X, \theta) p(\theta)$$

其中 $p(y | X, \theta)$ 表示在给定参数 $\theta$ 的情况下，目标向量 $y$ 的条件概率分布，通常假设 $y$ 的条件概率分布为高斯分布，即 $y \sim N(X\theta, \sigma^2 I)$，其中 $\sigma^2$ 是噪声的方差，$I$ 是单位矩阵。$p(\theta)$ 表示参数的先验分布，即 $p(\theta) \sim N(\mu_0, \Sigma_0)$。

根据后验分布，我们可以得到参数的后验均值和协方差矩阵，即：

$$\mu_{posterior} = \Sigma_{posterior} (\Sigma_0^{-1} \mu_0 + \frac{1}{\sigma^2} X^{T} y)$$

$$\Sigma_{posterior} = (\Sigma_0^{-1} + \frac{1}{\sigma^2} X^{T} X)^{-1}$$

有了后验分布，我们就可以预测新样本的目标值了。假设我们有一个新样本的特征向量 $x_{new}$，我们可以计算其目标值的后验分布，即：

$$p(y_{new} | x_{new}, X, y) = \int p(y_{new} | x_{new}, \theta) p(\theta | X, y) d\theta$$

由于 $p(y_{new} | x_{new}, \theta)$ 和 $p(\theta | X, y)$ 都是高斯分布，因此 $p(y_{new} | x_{new}, X, y)$ 也是高斯分布，其均值和方差可以通过计算得到。

下面是 Python 代码实现：

import numpy as np

class BayesianLinearRegression():
    def __init__(self, mu0, Sigma0, sigma2):
        self.mu0 = mu0
        self.Sigma0 = Sigma0
        self.sigma2 = sigma2
        
    def fit(self, X, y):
        # 计算后验分布的均值和协方差矩阵
        Sigma_posterior = np.linalg.inv(np.linalg.inv(self.Sigma0) + (1 / self.sigma2) * X.T @ X)
        mu_posterior = Sigma_posterior @ (np.linalg.inv(self.Sigma0) @ self.mu0 + (1 / self.sigma2) * X.T @ y)
        self.mu_posterior = mu_posterior
        self.Sigma_posterior = Sigma_posterior
    
    def predict(self, X_new):
        # 计算预测值的均值和方差
        y_mean = X_new @ self.mu_posterior
        y_var = self.sigma2 + np.diag(X_new @ self.Sigma_posterior @ X_new.T)
        return y_mean, y_var

其中，`mu0` 和 `Sigma0` 是参数的先验分布的均值和协方差矩阵，`sigma2` 是噪声的方差。`fit` 方法用于拟合模型，传入数据的特征矩阵 `X` 和目标向量 `y`，计算后验分布的均值和协方差矩阵。`predict` 方法用于预测新样本的目标值，传入新样本的特征向量 `X_new`，返回其目标值的均值和方差。