时间最优轨迹规划(3-5-3次多项式)
时间: 2023-06-27 21:02:57 浏览: 104
时间最优轨迹规划是指在给定起点、终点以及一些约束条件下,找到一条路径,使得机器人从起点到终点的运动时间最短,并且满足运动学和动力学约束。3-5-3次多项式是一种常用的规划方法,可以得到平滑的轨迹。
具体来说,考虑机器人在 $x$ 方向上的运动,假设起点为 $(x_0, v_0, a_0)$,终点为 $(x_f, v_f, a_f)$,其中 $v_0$ 和 $v_f$ 分别是起点和终点处的速度,$a_0$ 和 $a_f$ 分别是起点和终点处的加速度。为了简化问题,我们假设机器人在整个运动过程中的加速度大小是恒定的,为 $a_{max}$。
根据运动学方程,机器人在 $t$ 秒后的位移为:
$$
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_{max} t^2
$$
为了使轨迹平滑,我们需要将加速度控制在一定范围内。为了实现这一点,我们可以将运动过程分成三个阶段:加速阶段、匀速阶段和减速阶段。在加速阶段,机器人的加速度为 $a_{max}$,在匀速阶段,机器人的加速度为 $0$,在减速阶段,机器人的加速度为 $-a_{max}$。因此,我们需要计算出加速阶段和减速阶段的持续时间 $t_a$ 和 $t_d$,以及匀速阶段的持续时间 $t_u$。根据运动学方程,这些时间可以表示为:
$$
t_a = \frac{v_f - v_0}{a_{max}}, \quad t_d = \frac{v_f - v_0}{-a_{max}}, \quad t_u = \frac{x_f - x_0 - v_0 t_a - v_f t_d}{v_f - v_0}
$$
接下来,我们需要根据加速阶段、匀速阶段和减速阶段的时间,计算出整个运动过程的时间 $T = t_a + t_u + t_d$。然后,我们可以根据时间 $t$ 的取值,将运动过程分成三个阶段,并分别计算出机器人在每个阶段的位移。
在加速阶段 $(0 \leq t \leq t_a)$,机器人的位移为:
$$
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_{max} t^2
$$
在匀速阶段 $(t_a \leq t \leq t_a + t_u)$,机器人的位移为:
$$
x(t) = x_0 + v_0 t_a + \frac{1}{2} a_{max} t_a^2 + (t - t_a) v_f
$$
在减速阶段 $(t_a + t_u \leq t \leq T)$,机器人的位移为:
$$
x(t) = x_f - v_f (T - t) + \frac{1}{2} a_{max} (T - t)^2
$$
这样,我们就得到了一条时间最优的轨迹,并且满足了加速度的约束。