求一个4×4矩阵的一条对角线的元素之和与另一条对角线上的元素之和的乘积
时间: 2023-10-08 21:09:58 浏览: 40
设4×4矩阵为A,其中对角线上的元素分别为a、b、c、d,另一条对角线上的元素分别为e、f、g、h。
则对角线上的元素之和为a + b + c + d,另一条对角线上的元素之和为e + f + g + h。
两条对角线上元素之和的乘积为:
(a + b + c + d) × (e + f + g + h)
= (ae + af + ag + ah) + (be + bf + bg + bh) + (ce + cf + cg + ch) + (de + df + dg + dh)
因为矩阵A是4×4矩阵,所以对于任意i、j∈[1,4],Ai,j表示矩阵A第i行第j列的元素,且有:
ae = A1,1,af = A1,2,ag = A1,3,ah = A1,4
be = A2,1,bf = A2,2,bg = A2,3,bh = A2,4
ce = A3,1,cf = A3,2,cg = A3,3,ch = A3,4
de = A4,1,df = A4,2,dg = A4,3,dh = A4,4
所以:
(a + b + c + d) × (e + f + g + h)
= (A1,1 + A1,2 + A1,3 + A1,4) × (A4,1 + A4,2 + A4,3 + A4,4)
+ (A2,1 + A2,2 + A2,3 + A2,4) × (A3,1 + A3,2 + A3,3 + A3,4)
+ (A3,1 + A3,2 + A3,3 + A3,4) × (A2,1 + A2,2 + A2,3 + A2,4)
+ (A4,1 + A4,2 + A4,3 + A4,4) × (A1,1 + A1,2 + A1,3 + A1,4)
因此,对角线上元素之和的乘积为上式的结果。
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