用单调队列优化多重背包
时间: 2024-06-01 16:12:01 浏览: 15
多重背包问题是指有 $n$ 种物品,每种物品有 $m_i$ 个,每个物品的重量为 $w_i$,价值为 $v_i$,一共有 $W$ 的背包容量,求在背包容量限制下能获得的最大价值。
一般来说,多重背包问题可以使用动态规划来解决。但是,使用动态规划的时间复杂度是 $O(nW\sum_{i=1}^{n}m_i)$,其中 $\sum_{i=1}^{n}m_i$ 表示物品的总数,这样的时间复杂度是非常高的。因此,我们需要使用其他的算法来优化多重背包问题。
单调队列可以优化多重背包问题。具体来说,我们将多重背包问题转化为单调队列问题,然后使用单调队列来解决问题。
我们定义一个单调队列 $q$,其中每个元素是一个二元组 $(j, f_j)$,表示前 $j$ 种物品的最大价值为 $f_j$。我们维护一个单调递减的队列,即 $q$ 中的元素是按照 $f_j$ 从大到小排序的。
对于第 $i$ 种物品,我们将其转化为 $m_i$ 个物品,每个物品的价值为 $v_i$,重量为 $w_i$。然后,我们遍历单调队列 $q$,对于每个元素 $(j, f_j)$,我们将 $j+m_i$ 的元素加入队列中,即 $(j+m_i, f_j+v_i)$。然后,我们从队列的末尾开始,将队列中的元素按照 $f_j$ 从大到小排序,直到队列中的元素个数小于等于 $W$。
最后,队列中的最大价值就是多重背包问题的解。
使用单调队列优化多重背包问题的时间复杂度是 $O(nW)$,比动态规划要快很多。
相关问题
单调队列优化多重背包的原理
单调队列优化多重背包的原理是将多重背包问题转化为单调队列优化的01背包问题,从而减少时间复杂度。
具体做法是先将每种物品拆分成若干个01物品,然后将这些01物品按照单价从高到低排序。接着,用单调队列维护当前容量下的最大价值和最小重量。对于每个01物品,将其加入队列中,并更新队列中的最大价值和最小重量。如果加入当前物品后队列中的最大价值超过背包容量,则弹出队头元素,直到队列中最大价值小于等于背包容量为止。
最后,队列中的最大价值即为多重背包问题的最优解。
这种做法的时间复杂度为O(NV),其中N为物品数,V为背包容量。相比于朴素的多重背包算法,时间复杂度有了很大的优化。
单调队列优化多重背包代码
下面是单调队列优化多重背包的代码实现:
```c++
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 10010;
int f[N];
int q[N], v[N], w[N];
int n, m;
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
{
int hh = 0, tt = -1;
for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
{
int t = f[j - k * v[i]] - k * w[i];
while (hh <= tt && q[tt] < t) tt -- ;
q[ ++ tt] = t;
if (hh <= tt) f[j] = max(f[j], q[hh] + k * w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
```
该代码中的单调队列使用了双端队列来实现,队头表示队列中最大的元素,队尾表示队列中最小的元素。当加入一个新的元素时,将队列中所有小于该元素的元素弹出,然后将该元素压入队尾。同时,如果队头元素已经超出了当前的背包容量,需要将队头元素弹出。
在遍历所有物品和背包容量的组合时,每次需要清空队列。对于每个物品,从当前背包容量到该物品体积之间的所有容量,都需要计算出最大的价值。在计算价值时,需要使用单调队列进行优化。
该算法的时间复杂度为 O(N*V),空间复杂度为 O(V),其中 N 表示物品的数量,V 表示背包的容量。
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