平方后低位的数恰好等于该数的数是同位数，用C语言程序求小于10000的所有同构数

#include <stdio.h>

int main() {
    int i, j, k, l;
    for (i = 1; i < 10; i++) { // 枚举第一位
        for (j = 0; j < 10; j++) { // 枚举第二位
            for (k = 0; k < 10; k++) { // 枚举第三位
                for (l = 0; l < 10; l++) { // 枚举第四位
                    int num = i * 1000 + j * 100 + k * 10 + l; // 构造数
                    int square = num * num; // 平方
                    if (square % 10000 == num) { // 判断是否同构数
                        printf("%d\n", num);
                    }
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

相关问题

平方后低位的数恰好等于该数的数是同构数

### 回答1：
同构数是指两个数在十进制下各位数字相同，但顺序不同的数。例如，123和321就是一对同构数。

如果一个数平方后低位的数恰好等于该数，那么这个数就是一个同构数。例如，25的平方是625，低位的数是5，而25本身也是一个同构数，因为它的各位数字相同，只是顺序不同。

因此，题目的意思是要找出那些数，使得它们平方后低位的数恰好等于它们本身，并且它们本身也是同构数。

举个例子，一个可能的答案是21。因为21的平方是441，低位的数是1，而21本身也是一个同构数，因为它的各位数字相同，只是顺序不同。

### 回答2：
同构数是指两个数的位数相同且对应位上的数字之间互为素数的数。而平方后低位的数指的是一个数平方后末尾的数字。例如，5的平方等于25，低位就是5。如果一个数的平方后低位的数恰好等于该数的数是同构数，那么这个数就被称为一个同构数。

现在我们来证明这个结论。假设a是一个同构数，我们可以将它表示为：

a = p1 * 10^(n-1) + p2 * 10^(n-2) + … + pn-1 * 10 + pn

其中，p1, p2, … , pn都是质数，且n是a的位数。那么a的平方可以表示为：

a^2 = (p1 * 10^(n-1) + p2 * 10^(n-2) + … + pn-1 * 10 + pn)^2

展开后可以得到：

a^2 = p1^2 * 10^(2n-2) + 2 * p1 * p2 * 10^(2n-3) + … + 2 * pi * pj * 10^(2n-i-j+1) + … + pi^2 * 10^2 + 2 * pi * pj * 10 + pj^2

可以发现，a^2的末尾的数只与p1和pn有关：

a^2 = p1^2 * 10^(2n-2) + 2 * p1 * pn * 10^(n-1) + pn^2

显然，如果a^2的末尾的数字与a的末尾数字相等，即p1^2 + 2 * p1 * pn ≡ pn (mod 10)，那么a就是一个同构数。

因为p1和pn都是质数，所以它们一定不是偶数，也不是5的倍数。所以我们可以将它们归纳为4n+1或4n+3的形式。因为对于4n+1和4n+3的数，它们的平方模10的余数都是1。所以上述等式可化为：

p1^2 + 2 * p1 * pn + pn^2 ≡ 2p1 * pn + 2 ≡ 0 (mod 5)

因为p1和pn都不是5的倍数，所以2p1 * pn也不是5的倍数。因此，上式只有在2p1 * pn ≡ 3 或 8 (mod 10)时成立。也就是说，当p1和pn满足2p1 * pn ≡ 3 或 8 (mod 10)时，原数a就是一个同构数。

综上所述，当一个数的平方后低位的数恰好等于该数的数是同构数时，这个数只能是满足2p1 * pn ≡ 3 或 8 (mod 10)的同构数。

### 回答3：
什么是同构数呢？同构数是指两个整数的各数位上的数字相同，但是它们的顺序不一样的整数。比如，123和231就是一对同构数。

现在来证明平方后低位的数恰好等于该数的数是同构数这个结论。先假设一个整数$n$其低位数字为$a$，由此可知：

$$n = 10b + a,$$

其中$b$表示$n$去掉最低位数字$a$后所剩下的数字。那么$n$的平方就可以表示为：

$$n^2 = (10b + a)^2 = 100b^2 + 20ab + a^2.$$

根据同构数的定义，不难发现，如果有两个整数是同构数，则它们的平方的低位数字也是相同的。现在可以把$n^2$的最低位数字算出来：

$$n^2 \bmod 10 = (100b^2 + 20ab + a^2) \bmod 10 = a^2 \bmod 10.$$

那么，如果要证明平方后低位的数恰好等于该数的数是同构数，就得证明$a^2 \bmod 10 = b$。这个结论其实很容易证明，只需要列出$a$模10的所有可能取值，然后计算它们的平方模10的结果，再看能不能从中找到一个数$b$，满足$a^2 \bmod 10 = b$即可。当然，因为题目要求是不少于300字的回答，所以这里可以列出完整的计算过程：

当$a$分别为0到9时，它们的平方模10的结果分别是0、1、4、9、6、5、6、9、4、1。那么，根据平方后低位的数恰好等于该数的数这个条件，可以得到：

$$n \bmod 10 = a,$$

$$n^2 \bmod 10 = a^2 \bmod 10 = b.$$

现在只需要证明$a^2 \equiv b \pmod{10}$，也就是说，$a^2$除以10的余数等于$b$。这个结论可以通过上面的计算结果验证得出。

综上所述，我们证明了平方后低位的数恰好等于该数的数是同构数的结论，从而也可以推出：若$a^2 \bmod 10 = b$，则$n$和$n^2$是同构数。

判断一个数是否是同构数，用C语言

同构数是指一个数的平方的各位数字排列后可以得到原数。例如，25的平方为625，将数字重新排列可以得到原数25，因此25是同构数。

以下是一个判断同构数的C语言代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main() {
    int n, square;
    char original[10], sorted[10];

    printf("请输入一个整数：");
    scanf("%d", &n);

    square = n * n;  // 计算平方

    // 将原数和平方的数字转换为字符串
    sprintf(original, "%d", n);
    sprintf(sorted, "%d", square);

    // 对字符串进行排序
    int len = strlen(original);
    for (int i = 0; i < len - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < len; j++) {
            if (original[i] > original[j]) {
                // 交换字符
                char temp = original[i];
                original[i] = original[j];
                original[j] = temp;
            }
        }
    }

    // 比较原数和平方的排序后的字符串
    if (strcmp(original, sorted) == 0) {
        printf("%d是同构数。\n", n);
    } else {
        printf("%d不是同构数。\n", n);
    }

    return 0;
}

这个程序首先读入一个整数，然后计算它的平方。接着，将原数和平方的数字转换为字符串，并对原数的字符串进行排序。最后，比较原数和平方的排序后的字符串，如果相等，则说明该数是同构数。