二分法 函数零点算法设计

二分法求解函数零点的设计一般包括以下几个步骤：

1. 确定区间 $[a,b]$ 和精度要求 $\epsilon$，并计算最大迭代次数 $max\_iter$。

2. 检查区间 $[a,b]$ 是否满足函数单调性，若不满足则需要重新选择区间。

3. 初始化迭代次数 $iter$ 和区间中点 $c$。

4. 进入迭代循环，判断当前区间 $[a,b]$ 是否满足精度要求或者迭代次数是否达到最大值，若满足则退出循环，返回 $c$；否则，计算中点 $c=(a+b)/2$，判断 $f(c)$ 的符号，更新区间 $[a,b]$。

5. 在每次更新区间时，检查区间是否满足函数单调性，若不满足则需要重新选择区间。

6. 更新迭代次数 $iter$。

7. 如果循环结束仍未找到满足精度要求的零点，则返回最后一次计算的中点 $c$。

下面是一个示例代码，用于求解函数 $f(x)=x^2-2$ 在区间 $[0,2]$ 内的零点：

def binary_search(f, a, b, eps=1e-6, max_iter=100):
    if f(a)*f(b) >= 0:
        return None # 区间内不存在零点
    for i in range(max_iter):
        c = (a+b)/2
        if abs(f(c)) < eps:
            return c # 满足精度要求，返回零点
        if f(a)*f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
        if abs(b-a) < eps:
            return c # 区间长度小于精度要求，返回零点
    return c # 达到最大迭代次数，返回最后一次计算的中点

def f(x):
    return x**2 - 2

a, b = 0, 2
result = binary_search(f, a, b)
if result is None:
    print("区间内不存在零点")
else:
    print("函数零点为：", result)

该代码中，函数 `binary_search` 实现了二分法求解函数零点的算法，函数 `f` 定义了函数表达式，变量 `a` 和 `b` 定义了区间，`result` 存储了函数的零点。