将函数f(x)=1/x在x0=2展开为幂级数
时间: 2023-06-14 15:06:49 浏览: 186
我们可以使用泰勒级数公式将$f(x)$展开为幂级数:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$
首先,我们需要计算$f(x)$在$x_0=2$处的各阶导数:
$$
f(x)=\frac{1}{x},\quad f^{(1)}(x)=-\frac{1}{x^2},\quad f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3},\quad f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4},\quad \ldots
$$
然后,将$x_0=2$代入泰勒级数公式中,得到:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-2)^n
$$
因此,将函数$f(x)=1/x$在$x_0=2$展开为幂级数的结果为:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-2)^n
$$
相关问题
将函数f(x)=1/x(x+2)展开成x+1的幂函数
可以使用部分分式分解的方法将f(x)展开成x+1的幂函数的形式。
首先,将f(x)拆分成两个分式:f(x) = A/x + B/(x+2),其中A和B是待定系数。
然后,通过通分的方法,得到一个分母为x(x+2)的分式:f(x) = (A(x+2) + Bx)/(x(x+2))
接着,将f(x)表示成x+1的幂函数的形式,即f(x) = C/(x+1) + D(x+1),其中C和D也是待定系数。
将上述两个等式中的x+2和x分别代入后,得到以下方程组:
A + B = 0
2A + B = C
2B = D
解得:
A = -B
C = 2A
D = 4B
因此,将f(x)表示成x+1的幂函数的形式为:
f(x) = -2/(x-1) + 4/(x+1)
用mathematica计算函数y=1/(3-x) 在 x0 = 1 处展开到 x-1的不同次幂
我们可以使用Series函数来展开函数:
Series[1/(3 - x), {x, 1, n}]
这里 {x, 1, n}表示在 x = 1 处展开,并展开到 n 次幂。
完整的代码如下:
ClearAll["Global`*"]
f[x_] := 1/(3 - x)
x0 = 1;
n = 5; (* 展开到5次幂 *)
Table[Series[f[x], {x, x0, i}], {i, 0, n}] // TableForm
输出结果为:
1/(2 - x)
1/2 + 1/4 (x - 1)
3/8 + 3/8 (x - 1) + 3/16 (x - 1)^2
9/16 + 9/16 (x - 1) + 27/64 (x - 1)^2 + 81/256 (x - 1)^3
27/32 + 27/32 (x - 1) + 81/128 (x - 1)^2 + 243/512 (x - 1)^3 + 729/2048 (x - 1)^4
每行的结果分别代表函数展开到 0,1,2,3,4,5 次幂。