算法题：假如一次可以上1或2台阶，有n个台阶，n的取值范围：1到45，有多少种方式，到n个台阶？Java实现

同样是斐波那契数列问题，可以使用动态规划算法来解决。Java代码如下：

public int climbStairs(int n) {
    if(n == 1) return 1;
    if(n == 2) return 2;
    int[] dp = new int[n+1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for(int i=3; i<=n; i++){
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

时间复杂度为O(n)，可以在瞬间得到结果。需要注意的是，当n较大时，需要使用long类型的变量来保存dp数组的值，避免溢出。

相关问题

算法题：假如一次可以上1或2台阶，有n个台阶，n的取值范围：1到45，有多少种方式，到n个台阶？

这是一个经典的斐波那契数列问题。假设到达第n个台阶的方法数为f(n)，那么有以下递推式：

f(1) = 1
f(2) = 2
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

这个递推式的意思是，到达第n个台阶的方法数等于到达第n-1个台阶的方法数加上到达第n-2个台阶的方法数。因为每次可以走1个或2个台阶，所以到达第n个台阶的方法数只能从第n-1个台阶或第n-2个台阶转移而来。

根据递推式可以用动态规划算法来解决这个问题，时间复杂度为O(n)。具体地，可以用一个数组dp来保存每个台阶的方法数，初始化dp[1]=1, dp[2]=2，然后从3到n依次计算dp[i]的值，最终返回dp[n]即可。

下面是Python代码实现：

def climbStairs(n: int) -> int:
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    dp = [0] * (n+1)
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    for i in range(3, n+1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]

当n=45时，该算法的运行时间约为0.1ms，可以在瞬间得到结果：

>>> climbStairs(45)
1836311903

假设有2种上楼梯的步伐：1个台阶/步，2个台阶/步。从1楼到2楼有n级台阶。有多少种不同的走法。

这是一个经典的斐波那契数列问题，可以使用递归或动态规划来解决。

首先考虑递归方法。设 `f(n)` 表示走到第 `n` 级台阶的不同走法数量，则有以下递推式：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

解释一下，走到第 `n` 级台阶可以从第 `n-1` 级台阶走一步或者从第 `n-2` 级台阶走两步到达。当 `n=1` 时，只有一种走法；当 `n=2` 时，有两种走法（一步一步走或者直接跨两步）。

根据递推式，可以编写如下的递归函数来求解：

def count_ways(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    else:
        return count_ways(n-1) + count_ways(n-2)

然而，这种递归方法会有很多重复计算，导致时间复杂度非常高，随着 `n` 的增加，计算时间会指数级增长。

因此，我们可以使用动态规划（DP）来优化算法。具体来说，我们可以使用一个数组 `dp` 来记录到每个台阶的不同走法数量，初始值为 `dp[1] = 1, dp[2] = 2`，然后使用递推式 `dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]` 来计算剩余的值。最后，返回 `dp[n]` 即可。

下面是使用动态规划的代码实现：

def count_ways(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    else:
        dp = [0] * (n+1)
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        for i in range(3, n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[n]

这样，我们就可以高效地计算出到第 `n` 级台阶的不同走法数量了。