假设你正在爬楼梯。需要 n 步你才能到达楼顶。 每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?求n=13的结果 提示:利用递归函数的思想编写程序

这是一个经典的递归问题，假设到达第 n 步的方法数为 f(n)，那么可以分两种情况考虑：

1. 最后一步只跨了 1 个台阶，那么前面就必须跨了 n-1 个台阶，方法数为 f(n-1)。

2. 最后一步跨了 2 个台阶，那么前面就必须跨了 n-2 个台阶，方法数为 f(n-2)。

因此总的方法数为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。这是一个典型的斐波那契数列问题，可以使用递归函数求解。

Python 代码如下：

def climbStairs(n: int) -> int:
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)

n = 13
print(climbStairs(n))  # 输出结果为 377

注意，递归算法的时间复杂度为 O(2^n)，当 n 较大时，会非常慢。可以使用动态规划或者递推算法优化。

相关问题

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

### 回答1：
假设你正在爬楼梯，需要n阶你才能到达楼顶。每次你可以爬1或2个台阶。那么你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

答案是斐波那契数列。斐波那契数列是指：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，即第一项和第二项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

因为每次只能爬1或2个台阶，所以爬到第n阶的方法数就等于爬到第n-1阶和爬到第n-2阶的方法数之和。而爬到第1阶和第2阶的方法数都是1，所以可以得到递推公式：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

其中f(n)表示爬到第n阶的方法数。根据递推公式，可以用递归或循环的方式求解斐波那契数列，从而得到爬楼梯的方法数。

### 回答2：
这个问题属于经典的动态规划问题，我们可以用递推的方法来解决。

当 n=1 时，显然只有一种方法可以爬到楼顶，也就是一步一步爬。

当 n=2 时，有两种方法可以到达楼顶，一种是一次爬两步，另一种是先爬一步，再爬一步。

当 n>2 时，我们假设到达第 i 阶的方法有 f(i) 种。那么到达第 i 阶可以分为两种情况：

1. 在第 i-1 阶时向上爬一步。

2. 在第 i-2 阶时向上爬两步。

因此，f(i) = f(i-1) + f(i-2)。

最后只需要算出 f(n) 就可以知道到达楼顶的不同方法了。

我们可以用一个数组来存储 f(i)。初始时，f(1)=1，f(2)=2。

然后从 f(3) 开始，每个 f(i) 都等于前面两项的和，也就是 f(i-1) + f(i-2)。

最后返回 f(n) 就是到达楼顶的不同方法数了。

总结一下，假设你需要爬 n 阶楼梯才能到达楼顶，你有 f(n) 种不同的方法可以爬到楼顶。

其中，f(1)=1，f(2)=2，f(i)=f(i-1) + f(i-2) (i>=3)。

### 回答3：
我们可以用动态规划的思想来解决这个问题。设 f(i) 为到第 i 阶台阶时爬楼的方法数目，因为每一步都只能向上爬 1 阶或 2 阶台阶，所以到达第 i 阶台阶的方法只有两种：从第 i-1 阶向上爬 1 阶，或者从第 i-2 阶向上爬 2 阶。所以我们可以得到状态转移方程：

f(i) = f(i-1) + f(i-2)

同时，为了递推出 f(i) 的值，我们还需要初始化 f(1) 和 f(2) 的值。因为到第 1 阶台阶只有一种方法，我们有：f(1) = 1；到第 2 阶台阶有两种方法，我们有：f(2) = 2。所以最终的思路就是：从第 3 阶台阶开始递推，每次用上面的状态转移方程求出 f(i) 的值，直到求出 f(n) 的值为止。

以下是代码实现：

int climbStairs(int n) {
int f[n+1];
memset(f, 0, sizeof(f));
f[1] = 1;
f[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
f[i] = f[i-1] + f[i-2];
}
return f[n];
}

算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)，可以满足数据规模限制。因此，我们可以用这个算法来计算爬楼梯的方法数目。

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。 每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

### 回答1：
可以使用递归或动态规划的方法来解决这个问题。

递归方法：
当 n=1 时，只有一种方法，即爬一步；
当 n=2 时，有两种方法，即爬一步或者直接爬两步；
当 n>2 时，可以选择先爬一步，然后剩下的 n-1 阶台阶可以用相同的方法爬到楼顶，或者先爬两步，然后剩下的 n-2 阶台阶可以用相同的方法爬到楼顶。因此，可以得到递归公式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

动态规划方法：
可以使用一个数组 dp 来记录每一阶台阶的爬楼方法数。当 n=1 时，dp[1]=1；当 n=2 时，dp[2]=2；当 n>2 时，可以得到状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。最终，dp[n] 就是爬到楼顶的方法数。

因此，无论使用递归还是动态规划，都可以得到爬楼梯的不同方法数为 f(n) = dp[n] = f(n-1) + f(n-2)。

### 回答2：
问这个问题实际上是在求解一个动态规划问题，通常我们会采用递推方法来解决这个问题。

我们设 f(n) 表示到爬第 n 阶台阶时的所有方法数目。那么，最终的问题就是要求解 f(n)，因为到达楼顶时就相当于爬完了 n 阶台阶。

我们考虑 base case，也就是只有一阶台阶或者两阶台阶时的情况。如果只有一阶台阶，显然只有一种方式可以到达楼顶，即直接爬上去；如果有两阶台阶，就可以选择直接爬上去，或者先爬一阶再爬一阶，共有两种方法。

接着，对于任意一阶台阶，我们一定可以从它的前一阶或前两阶爬上来，因此我们可以得到如下的递推公式：
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)，其中 n > 2

这里的 f(n - 1) 表示我们从第 n - 1 阶爬上来的方法数目，f(n - 2) 则表示从第 n - 2 阶爬上来的方法数目。将这两个数相加就可以得到 f(n) 的值，而我们又已经求出了 f(1) 和 f(2) 的值，因此就可以依次递推得到 f(n) 的值了。

综上，如果有 n 阶台阶需要爬，我们只需要采用递推方法计算 f(n) 的值即可，其值就代表着到达楼顶的总方法数。

### 回答3：
假设爬n阶楼梯，可以从第n-1阶上1个台阶，或从第n-2阶上2个台阶。因此，到达第n阶的方法数等于到达第n-1阶和第n-2阶的方法数之和。即爬到第n阶的方法数为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。其中，初始条件为：f(1) = 1, f(2) = 2。

此题可以用递归或动态规划的方法来解决。递归的方法是比较直观的，但可能会重复计算某些子问题，效率较低。动态规划则是将计算出的子问题结果保存下来，避免重复计算。

动态规划的思路是先计算出f(1)和f(2)，然后用循环计算f(3)到f(n)。具体代码如下：

int climbStairs(int n) {
    if(n==1) return 1;
    if(n==2) return 2;
    int p=1,q=2,ans=0;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        ans=p+q;
        p=q;
        q=ans;
    }
    return ans;
}

时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。因此，用动态规划算法可以高效地解决爬楼梯问题。