用Python求正交矩阵T，使得T⁻¹ET为对角矩阵

在Python中，要找到一个正交矩阵\( T \)，使其逆\( T^{-1} \)乘以实对称矩阵\( E \)得到对角矩阵，通常会使用正交分解（QR分解）。对于实数矩阵，可以使用numpy库中的`linalg.qr()`函数来实现。

假设我们有一个实对称矩阵\( E \)，我们可以按以下步骤操作：

1. 使用`numpy.linalg.qr(E)`，这将返回两个数组，第一个数组\( Q \)是一个正交矩阵（即满足\( QQ^T = I \)），第二个数组是\( R \)，是对角矩阵，表示\( QR = E \)的形式。

2. 正交矩阵\( T \)就是\( Q \)本身，因为正交矩阵本身就是其自身的逆。

import numpy as np

# 假设E是你的对称矩阵
E = np.array([[4, 2], [2, 5]])  # 替换为你需要处理的实际矩阵
Q, R = np.linalg.qr(E)

# 此时，R即是对角矩阵，而Q就是你需要的正交矩阵
T = Q

如果你想要验证\( T \)确实是正交矩阵并满足\( T^{-1} ET = D \)的形式，你可以计算\( T.T \)是否接近于单位矩阵以及\( T.dot(T.T).dot(E) \)是否等于对角矩阵\( D \)。

相关问题

检查一下为什么"sinh", "cosh", "tanh","sin⁻¹", "cos⁻¹", "tan⁻¹", "sinh⁻¹", "cosh⁻¹", "tanh⁻¹","²√", "³√", "ʸ√",这几个的运算结果不对，应该怎么改

在 `CalculatorModel` 类中的 `performOperation(_:)` 方法里，“sinh”, “cosh”, “tanh”及其反函数“sinhInverse”, “coshInverse”, “tanhInverse”，还有“squareRoot”, “cubeRoot”, “nthRoot”的处理部分存在问题。

对于 `sinh`, `cosh`, `tanh` 函数，直接使用了 `Foundation.sinh`, `Foundation.cosh`, `Foundation.tanh` 计算是正确的；而其对应的反函数 `sinhInverse`, `coshInverse`, `tanhInverse` 同样正确地利用了 `Foundation.asinh`, `Foundation.acosh`, `Foundation.atanh` 来进行计算。因此这部分无需修改。

对于根运算，“squareRoot”, “cubeRoot”, “nthRoot”需要确保操作数非负且避免分母为零：

case .squareRoot:
    guard let operand = operandStack.popLast(), operand >= 0 else {
        caPrint("Error: Operand for squareRoot must be non-negative.")
        return false
    }
    result = sqrt(operand)
    operandStack.append(result)

case .cubeRoot:
    guard let operand = operandStack.popLast() else {
        caPrint("Error: No operand available for cubeRoot operation.")
        return false
    }
    result = cbrt(operand)
    operandStack.append(result)

case .nthRoot:
    guard let operand = operandStack.popLast(), let n = operandStack.popLast(), n != 0 else {
        caPrint("Error: Invalid operands for nthRoot operation.")
        return false
    }
    result = pow(operand, 1 / n)
    operandStack.append(result)

如果这些情况已经按照上述代码段处理过，并且仍然遇到问题，请检查 `parseTokens(_:)` 方法是否正确解析了相应的操作符及参数，还要确认 `handleOperation(_:)` 是否按预期调度了 `performOperation(_:)` 方法来处理每个运算。此外，在调用根运算之前，还需保证栈中有足够的元素供它使用。如果问题依旧存在，请提供更详细的错误描述以便进一步诊断。

11.(5.0分)设A,B均为"阶方阵,B是可逆方阵,且则↵等于( ).满足 A²-AB-B=O,⁻¹ A⁻¹ A⁻¹ (A−B)B⁻¹ BB−1(A−B) C(A−B)B D B(A-B)

由已知，我们有：
$$A^2 - AB - B = O$$
将式子两边同时乘以 $A^{-1}$，得到：
$$A - B - A^{-1} = O$$
移项可得：
$$A^{-1} = B - A$$
将 $A^{-1}$ 代入题目中的表达式，可得：
$$\begin{aligned} &A^{-1}A^{-1}(A-B)B^{-1}BB^{-1}(A-B)C(A-B)BD B(A-B) \\ =& (B-A)(B-A)(A-B)B^{-1}B^{-1}(A-B)C(A-B)BD B(A-B) \\ =& (B-A)^2(A-B)B^{-2}(A-B)C(A-B)BD B(A-B) \\ =& (B-A)^2(A-B)B^{-1}C(A-B)BD B(A-B) \end{aligned}$$