求矩阵A的转置×矩阵A的特征值

假设矩阵A的转置为$A^{T}$，特征值为$\lambda$，则：

$A^{T}A$的特征值为$\lambda^{2}$

证明：

设$Ax=\lambda x$，则$A^{T}Ax=A^{T}\lambda x=\lambda A^{T}x$

因此，$A^{T}Ax$的特征值为$\lambda$。

又因为$A^{T}Ax$是一个实对称矩阵，所以它的特征值都是实数。

设$\mu$是$A^{T}A$的特征值，$y$是对应的特征向量，则有：

$A^{T}Ay=\mu y$

左乘$y^{T}$，得到：

$y^{T}A^{T}Ay=\mu y^{T}y$

因为$A^{T}A$是实对称矩阵，所以$A^{T}A=(A^{T}A)^{T}=A^{T}A$，所以有：

$y^{T}A^{T}Ay=(Ay)^{T}(Ay)=\|Ay\|^{2}$

因此，上式可以写成：

$\|Ay\|^{2}=\mu y^{T}y$

由于$y^{T}y=\|y\|^{2}>0$，所以$\mu=\dfrac{\|Ay\|^{2}}{\|y\|^{2}}\geq 0$。

因此，$A^{T}A$的特征值都是非负实数。

综上所述，$A^{T}A$的特征值为$\lambda^{2}$。因此，矩阵A的转置×矩阵A的特征值为$A^{T}A\lambda=\lambda^{2}A^{T}A$。

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矩阵A与其转置矩阵AT的特征值是相同的，但是矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值不一定相同。

设矩阵A的特征值为λ，对应的特征向量为x，则有：

Ax = λx

将两边同时乘以AT得：

ATAx = ATλx

将Ax替换为λx，得：

ATλx = λATx

两边同时除以λ，得：

ATx = (AT/λ)x

由此可知，矩阵AT/λ的特征向量与矩阵A的特征向量相同，但其特征值为1/λ，而不是λ。因此矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值不一定相同。

矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值有什么关系吗

有关系。设矩阵A的特征值为λ，对应的特征向量为x，则有：

A x = λx

两边同时乘以x的转置，得到：

x的转置 A x = λ x的转置 x

由于x的转置x是一个标量，不为0，所以可以将它移到等式的左边，得到：

x的转置 A x - λ x的转置 x = 0

将等式两边同时乘以矩阵A的转置，得到：

(A x)的转置 A x - λ (x的转置 A) (Ax) = 0

由于(A x)的转置 A x是一个标量，所以可以将它替换为λ的平方，得到：

λ^2 - (x的转置 A) (Ax) = 0

因此，矩阵A的转置×矩阵A的特征值是矩阵A的特征值的平方。