求矩阵A的转置×矩阵A的特征值
时间: 2023-05-31 19:03:01 浏览: 248
假设矩阵A的转置为$A^{T}$,特征值为$\lambda$,则:
$A^{T}A$的特征值为$\lambda^{2}$
证明:
设$Ax=\lambda x$,则$A^{T}Ax=A^{T}\lambda x=\lambda A^{T}x$
因此,$A^{T}Ax$的特征值为$\lambda$。
又因为$A^{T}Ax$是一个实对称矩阵,所以它的特征值都是实数。
设$\mu$是$A^{T}A$的特征值,$y$是对应的特征向量,则有:
$A^{T}Ay=\mu y$
左乘$y^{T}$,得到:
$y^{T}A^{T}Ay=\mu y^{T}y$
因为$A^{T}A$是实对称矩阵,所以$A^{T}A=(A^{T}A)^{T}=A^{T}A$,所以有:
$y^{T}A^{T}Ay=(Ay)^{T}(Ay)=\|Ay\|^{2}$
因此,上式可以写成:
$\|Ay\|^{2}=\mu y^{T}y$
由于$y^{T}y=\|y\|^{2}>0$,所以$\mu=\dfrac{\|Ay\|^{2}}{\|y\|^{2}}\geq 0$。
因此,$A^{T}A$的特征值都是非负实数。
综上所述,$A^{T}A$的特征值为$\lambda^{2}$。因此,矩阵A的转置×矩阵A的特征值为$A^{T}A\lambda=\lambda^{2}A^{T}A$。
相关问题
矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值
矩阵A与其转置矩阵AT的特征值是相同的,但是矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值不一定相同。
设矩阵A的特征值为λ,对应的特征向量为x,则有:
Ax = λx
将两边同时乘以AT得:
ATAx = ATλx
将Ax替换为λx,得:
ATλx = λATx
两边同时除以λ,得:
ATx = (AT/λ)x
由此可知,矩阵AT/λ的特征向量与矩阵A的特征向量相同,但其特征值为1/λ,而不是λ。因此矩阵A的特征值与矩阵A的转置×矩阵A的特征值不一定相同。
如何用矩阵和转置的乘积求特征值
设一个矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$,对应的特征向量为 $\boldsymbol{v}$。则有:
$$
A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}
$$
两边同时左乘 $\boldsymbol{v}^T$,得到:
$$
\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v}
$$
由于 $\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v}$ 是一个标量,所以其转置等于其本身,即:
$$
(\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v})^T = \boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v}
$$
因此,我们可以将上述式子变形为:
$$
\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v} = \lambda ||\boldsymbol{v}||^2
$$
其中 $||\boldsymbol{v}||^2 = \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v}$ 表示向量 $\boldsymbol{v}$ 的模长的平方。由于 $\boldsymbol{v}$ 是非零向量,所以 $||\boldsymbol{v}||^2 > 0$。因此,我们可以得到:
$$
\lambda = \frac{\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v}}{||\boldsymbol{v}||^2}
$$
这个式子告诉我们,一个矩阵 $A$ 的特征值可以通过将其与一个特征向量相乘,再除以该特征向量的模长的平方来求得。而这个计算过程可以通过矩阵和转置的乘积来实现。具体地,设 $\boldsymbol{v}$ 是 $A$ 的一个特征向量,我们可以先计算 $A\boldsymbol{v}$,然后再计算 $\boldsymbol{v}^T (A\boldsymbol{v})$,最后将其除以 $||\boldsymbol{v}||^2$ 即可求得特征值 $\lambda$。
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