分部积分法求一个正比例函数和指数函数的乘积的积分

设原函数为 $f(x)$，则所求积分为：

$$\int kxe^{mx}dx$$

使用分部积分法，令 $u=x$，$dv=ke^{mx}dx$，则 $du=dx$，$v=\frac{k}{m}e^{mx}$，于是有：

$$\begin{aligned} \int kxe^{mx}dx &=uv-\int vdu \\ &=x\cdot \frac{k}{m}e^{mx} - \int \frac{k}{m}e^{mx}dx \\ &=\frac{k}{m}xe^{mx} - \frac{k}{m^2}e^{mx}+C \end{aligned}$$

其中 $C$ 为常数。因此，原式的积分结果为 $\frac{k}{m}xe^{mx} - \frac{k}{m^2}e^{mx}+C$。

相关问题

java写一个梯形法求定积分的通用函数

好的，以下是Java实现的梯形法求定积分的通用函数：

public static double trapezoidalMethod(DoubleUnaryOperator f, double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n;
    double sum = (f.applyAsDouble(a) + f.applyAsDouble(b)) / 2.0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        double x = a + i * h;
        sum += f.applyAsDouble(x);
    }
    return sum * h;
}

其中，`DoubleUnaryOperator`是Java 8中的函数式接口，表示接受一个`double`类型参数并返回一个`double`类型结果的函数。`f`表示要求积分的函数，`a`和`b`分别是积分区间的起点和终点，`n`表示将积分区间均匀分成`n`个小区间。

函数实现中，首先计算出每个小区间的宽度`h`，然后利用梯形面积公式计算出每个小梯形的面积，最后将所有小梯形的面积加起来即可得到定积分的近似值。

调用示例：

double result = trapezoidalMethod(Math::sin, 0, Math.PI, 1000);
System.out.println(result); // 输出 1.999998351770711

其中，`Math::sin`表示使用Java内置的`sin`函数作为要求积分的函数，积分区间为`[0, PI]`，将积分区间分成了1000个小区间。

用C语言写一个用矩形法求定积分的通用函数

下面是一个用矩形法求定积分的通用函数的C代码实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
    // 定义被积函数 f(x)
    return sin(x);
}

double integral(double a, double b, int n) {
    // a, b 分别为积分区间的下限和上限，n为分成的矩形数
    double h = (b - a) / n;  // 求出每个小矩形的宽度
    double sum = 0;  // 初始化积分和
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double x = a + i * h;  // 求出每个小矩形的左端点
        sum += f(x) * h;  // 计算每个小矩形的面积，并累加到积分和上
    }
    return sum;  // 返回最终的积分和
}

int main() {
    double a = 0.0;  // 积分区间下限
    double b = M_PI;  // 积分区间上限
    int n = 100;  // 矩形的数量
    double result = integral(a, b, n);  // 调用积分函数
    printf("The result is %f\n", result);
    return 0;
}

这个程序定义了一个被积函数f(x)，并使用矩形法求出该函数在积分区间[a, b]上的定积分。在主函数中，我们设定了积分区间为[0, π]，并将矩形数量设置为100。程序将计算出该函数在该区间上的定积分，并输出结果。