动态规划(最长上升子序列LIS‘

最长上升子序列（LIS）是一个问题，其目标是在给定序列中找到最长的严格递增的子序列。动态规划是解决该问题的一种常用方法。

动态规划解决LIS问题的一种常见方法是定义一个dp数组，其中dp[i]表示以第i个元素为结尾的LIS的长度。然后，我们可以通过迭代计算dp[i]来逐步构建解。

以下是一个动态规划解决LIS问题的示例代码：

def lis(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    
    return max(dp)

# 示例输入
nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
print(lis(nums))  # 输出: 4

在上述代码中，我们通过两层循环来计算dp数组的值。在每个位置i，我们将其与之前的每个位置j进行比较，如果nums[i]大于nums[j]，则可以将nums[i]添加到以nums[j]结尾的递增子序列中，从而更新dp[i]的值。

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动态规划求最长上升子序列

最长上升子序列（LIS）是一个非常重要的问题，它在许多应用中都有广泛的应用，如数据压缩、图形识别、生物信息学等领域。下面是用动态规划求解最长上升子序列的一种常见方法。

定义状态：设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长上升子序列的长度。

状态转移方程：对于第 i 个元素，我们需要找到前面比它小的元素中，以其为结尾的最长上升子序列长度最大的那个元素 j，然后在这个基础上加上它本身就是以 i 为结尾的最长上升子序列的长度了，即 dp[i]=max{dp[j]+1}，其中 j<i 且 a[j]<a[i]。

最终答案：最长上升子序列的长度就是 dp 数组中的最大值，即 LIS=max{dp[i]}。

下面是一个示例程序实现：

def LIS(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

其中 nums 是一个数组，表示待求解的最长上升子序列。程序的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

动态规划：最长上升子序列

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，简称 LIS）问题是指给定一个序列，找到其中最长的严格递增子序列。

例如，对于序列 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，最长上升子序列为 [2, 5, 7, 101]，长度为 4。

动态规划算法是解决 LIS 问题的常用方法。设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长上升子序列的长度。则有状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中 j < i 且 nums[j] < nums[i]

即对于每个元素 i，遍历其之前的所有元素 j，如果 nums[j] < nums[i]，则说明可以将 i 加入以 j 结尾的 LIS 中，从而得到以 i 结尾的 LIS。取所有可能的 LIS 长度的最大值即为所求。

最终答案为所有 dp[i] 中的最大值。时间复杂度为 O(n^2)。