最长上升子序列长度 动态规划
时间: 2024-06-19 09:01:04 浏览: 11
最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence, LIS)是一个经典的动态规划问题。动态规划方法通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。对于LIS,我们想要找到一个序列中的最长的严格递增子序列。
下面是使用动态规划求解LIS的基本步骤:
1. 定义状态:对于给定序列中的每个元素,设`dp[i]`为以该元素结尾的最长上升子序列的长度。
2. 初始化:数组`dp`的长度与输入序列相同,所有元素初始化为1,因为每个元素本身都是一个长度为1的上升子序列。
3. 计算过程:遍历输入序列,对于每个元素`nums[i]`,检查所有小于它的元素`nums[j] (j < i)`,如果`nums[j]`比`nums[i]`小且`dp[j] + 1`大于`dp[i]`,则更新`dp[i]`为`dp[j] + 1`。这样做的目的是寻找以`nums[i]`结尾且包含`nums[j]`在内的最长上升子序列。
4. 保存最长值:在整个过程中,`dp[i]`会记录以`nums[i]`结尾的最长上升子序列长度。最后,`dp`就是整个序列的最长上升子序列的长度。
相关问题
动态规划最长上升子序列
动态规划最长上升子序列问题是指给定一个长度为n的数列,求它的最长上升子序列长度。其中,最长上升子序列是指在原数列中,找到一个严格递增的子序列,且该子序列元素个数最多。
动态规划最长上升子序列算法如下:
1. 定义状态:设dp[i]表示以i结尾的最长上升子序列长度。
2. 初始化状态:dp[i]=1,因为任何一个数都可以看做长度为1的上升子序列。
3. 状态转移方程:对于每个i,我们需要枚举其前面所有比它小的数j,然后更新dp[i]的值。即如果nums[j]<nums[i],那么dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。
4. 最终结果:最长上升子序列的长度为max(dp[i]),其中0<=i<n。
下面是Python代码实现:
```python
def lengthOfLIS(nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
```
时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n)。如果需要更快的算法,可以使用二分查找将时间复杂度优化到O(nlogn)。
动态规划求最长上升子序列
最长上升子序列(LIS)是一个非常重要的问题,它在许多应用中都有广泛的应用,如数据压缩、图形识别、生物信息学等领域。下面是用动态规划求解最长上升子序列的一种常见方法。
定义状态:设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长上升子序列的长度。
状态转移方程:对于第 i 个元素,我们需要找到前面比它小的元素中,以其为结尾的最长上升子序列长度最大的那个元素 j,然后在这个基础上加上它本身就是以 i 为结尾的最长上升子序列的长度了,即 dp[i]=max{dp[j]+1},其中 j<i 且 a[j]<a[i]。
最终答案:最长上升子序列的长度就是 dp 数组中的最大值,即 LIS=max{dp[i]}。
下面是一个示例程序实现:
```python
def LIS(nums):
n = len(nums)
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
```
其中 nums 是一个数组,表示待求解的最长上升子序列。程序的时间复杂度为 O(n^2),空间复杂度为 O(n)。