最长上升子序列长度 动态规划

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）是一个经典的动态规划问题。动态规划方法通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。对于LIS，我们想要找到一个序列中的最长的严格递增子序列。

下面是使用动态规划求解LIS的基本步骤：

1. 定义状态：对于给定序列中的每个元素，设`dp[i]`为以该元素结尾的最长上升子序列的长度。

2. 初始化：数组`dp`的长度与输入序列相同，所有元素初始化为1，因为每个元素本身都是一个长度为1的上升子序列。

3. 计算过程：遍历输入序列，对于每个元素`nums[i]`，检查所有小于它的元素`nums[j] (j < i)`，如果`nums[j]`比`nums[i]`小且`dp[j] + 1`大于`dp[i]`，则更新`dp[i]`为`dp[j] + 1`。这样做的目的是寻找以`nums[i]`结尾且包含`nums[j]`在内的最长上升子序列。

4. 保存最长值：在整个过程中，`dp[i]`会记录以`nums[i]`结尾的最长上升子序列长度。最后，`dp`就是整个序列的最长上升子序列的长度。

相关问题

C语言代码 最长上升子序列的长度和最长上升子序列的长度之和

以下是求解最长上升子序列的长度和最长上升子序列的长度之和的C语言代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
    int n, i, j, max, sum = 0;
    scanf("%d", &n);
    int* a = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    int* dp = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        dp[i] = 1;
    }
    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        max = 0;
        for (j = 0; j < i; j++)
        {
            if (a[j] < a[i] && dp[j] > max)
            {
                max = dp[j];
            }
        }
        dp[i] = max + 1;
    }
    max = 0;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        if (dp[i] > max)
        {
            max = dp[i];
        }
        sum += dp[i];
    }
    printf("%d %d\n", max, sum);
    free(a);
    free(dp);
    return 0;
}

该代码首先读入序列的长度n和序列a，然后使用动态规划求出最长上升子序列的长度dp和最长上升子序列的长度之和sum，最后输出结果。其中dp[i]表示以a[i]结尾的最长上升子序列的长度，max表示dp数组中的最大值。

动态规划最长上升子序列

动态规划最长上升子序列问题是指给定一个长度为n的数列，求它的最长上升子序列长度。其中，最长上升子序列是指在原数列中，找到一个严格递增的子序列，且该子序列元素个数最多。

动态规划最长上升子序列算法如下：

1. 定义状态：设dp[i]表示以i结尾的最长上升子序列长度。

2. 初始化状态：dp[i]=1，因为任何一个数都可以看做长度为1的上升子序列。

3. 状态转移方程：对于每个i，我们需要枚举其前面所有比它小的数j，然后更新dp[i]的值。即如果nums[j]<nums[i]，那么dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。

4. 最终结果：最长上升子序列的长度为max(dp[i])，其中0<=i<n。

下面是Python代码实现：

def lengthOfLIS(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。如果需要更快的算法，可以使用二分查找将时间复杂度优化到O(nlogn)。