数学老师给大家一道数学问题:“将一个整数分解为n个四次方数的和的形式,要求n最小

假设要将整数x分解为n个四次方数的和的形式，即x=a1^4+a2^4+...+an^4。

我们知道四次方数是不会负数的，所以可以确定每一个四次方数ai都是非负整数。那么，我们首先可以令ai=0，然后让剩余的数x总是等于ai的平方之和。这样，我们就能找到一个最小的n，使得x能够被分解为n个四次方数的和的形式。

我们可以利用贪心算法来实现这一分解过程。从大到小依次尝试四次方数a1，a2，a3...，每次选择使得x-a^4最小的a的四次方数，直到x不能再分解为四次方数的和为止。

举个例子，假设x=45，我们首先可以令a1=0，那么剩余的数x=45。接着尝试最大的四次方数a2^4=16^4=65536，我们发现45-65536<0，所以无法继续分解。

因此，最小的n=1，x只能被分解为一个四次方数的和的形式。

总结起来，数学老师给出的问题中，要将一个整数分解为n个四次方数的和的形式，要求n最小。我们可以通过贪心算法，依次选择最大的四次方数，尝试将整数分解，直到无法再分解为止。这样可以找到最小的n，使得整数能够被分解为n个四次方数的和的形式。

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高三毕业晚会上，竞赛班的老师们都给同学们留言，祝福大家走出广西后继续努力实现人生理想。教数学的黄老师给大家的留言竟然是一道数学问题：“将一个整数 m分解为 n个四次方数的和的形式，要求 n最小。”例如，m = 706 , 706 = 5^4 + 3^4 , 则 n = 2。作为著名高中数学教练，黄老师当然希望大家能够学好数学，用好数学，将来学习理工科专业，数学是很重要的。这个问题对于编程班的同学就很简单的了，希望下次黄老师再次留言的时候和学生说：数学很重要！学好编程也很重要！

黄老师留言的这个问题是一个经典的数学问题，称为“Waring's problem”，即瓦林问题。它的解法可以使用数学的方法，也可以使用编程的方法。

首先，我们可以使用数学的方法来解决这个问题。根据瓦林定理，任意正整数n都可以表示为4个自然数的四次方之和。因此，对于任意正整数m，我们可以先尝试将它表示为4个自然数的四次方之和。如果可以表示为4个自然数的四次方之和，那么n的值就是4；否则，我们需要尝试将它表示为3个自然数的四次方之和。如果可以表示为3个自然数的四次方之和，那么n的值就是3；否则，我们需要尝试将它表示为2个自然数的四次方之和。如果可以表示为2个自然数的四次方之和，那么n的值就是2；否则，我们只能将它表示为1个自然数的四次方，此时n的值为1。

具体实现可以参考以下代码：

import math

def waring(m):
    for n in range(1, 5):
        if is_sum_of_fourth_powers(m, n):
            return n
    return -1

def is_sum_of_fourth_powers(m, n):
    if n == 1:
        return m == int(math.pow(round(math.pow(m, 1/4)), 4))
    for i in range(round(math.pow(m, 1/4)), int(math.pow(m, 1/4)) // math.sqrt(2) - 1, -1):
        if is_sum_of_fourth_powers(m - int(math.pow(i, 4)), n - 1):
            return True
    return False

m = int(input())
print(waring(m))

当然，对于比较大的m，上述代码可能会超时，因此我们可以添加记忆化搜索来优化它。

另外，我们也可以使用编程的方法来解决这个问题。具体来说，我们可以使用动态规划算法。假设$f(m)$表示将正整数m分解为若干个四次方数的和的最小个数。对于任意正整数m，它可以表示为$i^4+j^4$的形式，其中$i,j$都是正整数。因此，我们可以枚举$i,j$，并计算$f(m-i^4-j^4)+1$的最小值，即可得到$f(m)$的值。

具体实现可以参考以下代码：

import math

def waring(m):
    dp = [float('inf')] * (m + 1)
    dp[0] = 0
    for i in range(1, int(math.pow(m, 1/4)) + 1):
        for j in range(i, int(math.pow(m - i**4, 1/4)) + 1):
            dp[i**4 + j**4] = 2
            for k in range(j, int(math.pow(m - i**4 - j**4, 1/4)) + 1):
                dp[i**4 + j**4 + k**4] = 3
                for l in range(k, int(math.pow(m - i**4 - j**4 - k**4, 1/4)) + 1):
                    dp[i**4 + j**4 + k**4 + l**4] = 4
    return dp[m]

m = int(input())
print(waring(m))

无论是使用数学的方法，还是使用编程的方法，都可以得到正确的答案。

高三毕业晚会上，竞赛班的老师们都给同学们留言，祝福大家走出广西后继续努力实现人生理想。教数学的黄老师给大家的留言竟然是一道数学问题：“将一个整数m分解为n个四次方数的和的形式，要求n最小。”例如， m = 706 , 706 = 5 ^4 + 3^ 4, 则 n=2。作为著名高中数学教练，黄老师当然希望大家能够学好数学，用好数学，将来学习理工科专业，数学是很重要的。这个问题对于编程班的同学就很简单的了，希望下次黄老师再次留言的时候和学生说：数学很重要！学好编程也很重要！用C++编写

这道数学问题可以使用动态规划来解决。定义一个数组dp[m+1][n+1]，其中dp[i][j]表示将整数i分解为j个四次方数的和的最小个数。则可以得到递推式：

dp[i][j] = min(dp[i-k^4][j-1] + 1)，其中k为满足k^4 <= i的最大整数。

初始条件为dp[0][0] = 0，dp[i][0] = INF (i > 0)，dp[i][j] = INF (j > i)。

最终答案为dp[m][n]，即将整数m分解为n个四次方数的和的最小个数。

以下是用C++实现的代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int INF = 1e9;
const int MAXN = 5005;

int dp[MAXN][MAXN];

int main() {
    int m, n;
    cin >> m >> n;

    memset(dp, INF, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            for(int k = 1; k * k * k * k <= i; k++) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-k*k*k*k][j-1] + 1);
            }
        }
    }

    cout << dp[m][n] << endl;
    return 0;
}