x+ln(x+1)等价无穷小是多少
时间: 2023-10-22 20:07:00 浏览: 1081
当$x\rightarrow 0$时,有:
$x\ln(x+1) = \frac{\ln(x+1)}{\frac{1}{x}}$
由洛必达法则可得:
$$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(x+1)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\rightarrow 0} -\frac{x^2}{x+1} = 0
$$
因此,$x\ln(x+1)$是$x$趋于$0$时的等价无穷小是$0$。
相关问题
为什么x-ln(1+x)的等价无穷小是1/2x^2
我们可以使用泰勒公式将x-ln(1+x)展开成幂级数:
x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...
我们知道,当x接近0时,高阶次幂的项会变得非常小,可以被忽略。因此,我们可以采用只考虑前两项的方式近似表示。
x-ln(1+x) ≈ x - (x^2)/2
将其写成等式形式:
x-ln(1+x) = x - (x^2)/2 + o(x^2)
其中,o(x^2)表示比x^2更高阶次的幂级数。因此,我们可以得到:
x-ln(1+x) = 1/2x^2 + o(x^2)
因为当x趋近于0时,o(x^2)远比1/2x^2小,可以被认为是等价于0的无穷小,因此:
x-ln(1+x) ~ 1/2x^2
改写成等式形式就是:
lim(x→0) (x-ln(1+x))/x^2 = 1/2
这就证明了1/2x^2是x-ln(1+x)的等价无穷小。
当x趋近于0时, (3sinx+2x^2cos(1/x))是:A.与(1+cosx)ln(1+x)同价非等价的无穷小B.与(1+cosx)ln(1+x)低价的无穷小 C.与(1+cosx)ln(1+x)高阶无穷小 D.与(1+cosx)ln(1+x)等价无穷小(先说选项后说分析)
当 x 趋近于 0 时,(3sinx 2x^2cos(1/x)) 是与 (1 cosx)ln(1 x) 高阶无穷小。
分析:
在数学中,当一个函数的值趋近于 0 时,我们称其为无穷小。无穷小有两种情况:同价无穷小和高阶无穷小。同价无穷小指两个函数的值在某一范围内相等,即 f(x)=g(x)。高阶无穷小指在某一范围内,一个函数的值要比另一个函数的值小得多,即 f(x)=O(g(x))。
在这道题中,当 x 趋近于 0 时,3sinx 和 2x^2cos(1/x) 都是无穷小,而 (1 cosx)ln(1 x) 是高阶无穷小,所以答案是 C:与 (1 cosx)ln(1 x) 高阶无穷小。
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