python 牛顿迭代法求平方根

在Python中，牛顿迭代法是一种常用的数值方法，用于近似计算函数的零点，例如求平方根。对于求解正实数 \( x \) 的平方根，我们可以使用这个方法来逼近 \( \sqrt{x} \)。下面是使用牛顿迭代法的基本步骤：

1. **初始猜测**：选择一个初始估计值，通常选取 \( x \) 除以 2 作为起点，即 \( guess = \frac{x}{2} \)。

2. **迭代公式**：利用函数的导数（在这个例子中是 \( f(x) = x^2 - a \)，其中 \( a \) 是要求平方根的数），牛顿迭代公式为：
\[ guess = \frac{guess + \frac{a}{guess}}{2} \]
或者简化为：
\[ guess = \frac{x}{guess + \frac{x}{guess}} \]

3. **重复迭代**：不断用新的猜测值替换旧的猜测，直到满足某个停止条件，比如连续两次猜测之间的差值小于预设的精度阈值或达到最大迭代次数。

以下是 Python 代码实现的例子：

def newton_sqrt(a, epsilon=1e-6, max_iter=100):
    guess = a / 2.0  # 初始猜测
    for _ in range(max_iter):
        new_guess = (guess + a / guess) / 2.0
        if abs(new_guess - guess) < epsilon:  # 停止条件
            return new_guess
        guess = new_guess
    return new_guess  # 如果没有达到停止条件，返回最后一次迭代结果

# 示例
number = 16
square_root = newton_sqrt(number)
print(f"Square root of {number} is approximately {square_root}")