动态规划之矩阵连乘 递推公式

矩阵连乘是动态规划中的一个经典问题，其递推公式如下所示：
设矩阵链为A1,A2,...,An，其中Ai的规模为pi-1 * pi，i=1,2,...,n。令m[i][j]表示Ai~Aj的最小乘次数，则有：
m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 * pk * pj}，其中i<=k<j
其中，m[i][i]=0，表示单个矩阵的乘次为0。
根据上述递推公式，我们可以使用动态规划算法来解决矩阵连乘问题。

相关问题

动态规划矩阵连乘问题的递推公式

动态规划矩阵连乘问题的递推公式如下所示：
设m[i,j]表示第i个矩阵到第j个矩阵的最小计算次数，则有：
m[i,j] = min{m[i,k]+m[k+1,j]+p[i-1]*p[k]*p[j]}，其中i≤k<j，p[i-1]是第i-1个矩阵的行数，p[k]是第k个矩阵的列数，p[j]是第j个矩阵的列数。

其中，m[i,j]表示第i个矩阵到第j个矩阵的最小计算次数，k表示在i到j之间的某个位置，p[i-1]是第i-1个矩阵的行数，p[k]是第k个矩阵的列数，p[j]是第j个矩阵的列数。通过递推公式，我们可以得到最终的最小计算次数。

动态规划解决矩阵连乘的优化思路

矩阵连乘问题是指给定n个矩阵A1，A2，......，An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2，......，n-1，现要确定矩阵乘法的计算次序，求矩阵连乘积的最小数乘次数。

动态规划是解决矩阵连乘问题的有效方法。动态规划的基本思路是将大问题分解成小问题来解决，然后将小问题的解组合起来得到大问题的解。在矩阵连乘问题中，我们可以将矩阵连乘分解为多个子问题，每个子问题都是一部分矩阵的连乘。

假设要计算的矩阵序列为A1，A2，......，An，我们可以定义一个二维数组m[i][j]表示从Ai到Aj矩阵连乘的最小数乘次数。那么我们可以得到以下递推公式：

m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 * pk * pj}

其中，pi-1，pk，pj分别表示矩阵Ai-1，Ak和Aj的行列数。

根据递推公式，我们可以使用动态规划来解决矩阵连乘问题。具体步骤如下：

1. 初始化二维数组m[i][i]为0，表示单个矩阵的数乘次数为0。

2. 枚举矩阵连乘的长度L，从2到n，依次计算m[i][i+L-1]，即从Ai到Ai+L-1的矩阵连乘的最小数乘次数。

3. 在计算m[i][i+L-1]时，枚举中间点k，计算m[i][k]和m[k+1][i+L-1]的和再加上pi-1 * pk * pj，取最小值作为m[i][i+L-1]的值。

4. 最终结果为m[1][n]，即从A1到An的矩阵连乘的最小数乘次数。

动态规划的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。