给定n个矩阵{A1,A2,…,如何确 定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如,给定三个连乘矩阵{A1,A2,A3}的维数 数组p为:10,100,5,50,即分别是10 ×100,100×5和5×50,用C++语言写出代码,并且写出伪代码和时间复杂度分析
时间: 2023-06-08 19:07:52 浏览: 68
好的,我明白了,让我来回答你的问题。
这个问题可以通过动态规划解决。设m[i][j]表示计算Ai到Aj这些矩阵的连乘积需要的最少数乘次数,然后利用递推公式来不断更新m[i][j]的值。
伪代码如下:
int MatrixChainOrder(int p[], int n) {
int m[n][n];
for (int i = 1; i < n; i++)
m[i][i] = 0;
for (int L = 2; L < n; L++) {
for (int i = 1; i < n-L+1; i++) {
int j = i+L-1;
m[i][j] = INT_MAX;
for (int k = i; k <= j-1; k++) {
int q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
if (q < m[i][j])
m[i][j] = q;
}
}
}
return m[1][n-1];
}
时间复杂度为O(n^3 )。
希望我的回答对你有帮助!
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给定n个矩阵{A1,A2,…,如何确 定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如,给定三个连乘矩阵{A1,A2,A3}的维数 数组p为:10,100,5,50,即分别是10 ×100,100×5和5×50,
该问题可以使用动态规划来解决。首先定义一个二维数组m[i,j]存储Ai到Aj连乘积的最小数乘次数。然后定义一个二维数组s[i,j]存储在Ai到Aj中最优的断点k。
具体的算法步骤如下:
1. 对于只有一个矩阵Ai,m[i,i] = 0
2. 对于连乘长度大于1的子问题,按照子问题长度递增的顺序计算m[i,j]。假设当前考虑的子问题长度为len,i到j的区间为[l,r],则m[l,r]可以通过以下方式求解:
- 首先将[l,r]分成两个长度分别为k和len-k的区间:[l,l+k-1] 和 [l+k,r]
- 然后计算 Ai到Ak 的最小数乘次数 m[i,k] 和 Ak+1到Aj 的最小数乘次数 m[k+1,j]
- 最后计算整个区间[l,r]的最小数乘次数 m[l,r] = m[i,k] + m[k+1,j] + pi-1 pk pj
- 记录最小值和断点位置
3. 重复步骤2直到计算出m[1,n]为止。此时s数组中记录的就是最优的断点位置,可以通过递归调用自身来得到最优的计算次序。
对于给定的三个矩阵{A1,A2,A3}的维数数组p为{10,100,5,50},可以按照以上算法计算出最小的数乘次数为7500,最优的计算次序为(A1(A2A3))。
给定n个矩阵{A1,A2,…,An}(n<=40),其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2…,n。第i个矩阵的维数用p i−1 ,p i 来表示。如何确 定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
这个问题其实是矩阵链乘法问题,可以使用动态规划来解决。假设矩阵连乘积的次序为(A1A2…Ak)(Ak+1Ak+2…An),则计算出(A1A2…Ak)和(Ak+1Ak+2…An)的最优次序,然后将它们相乘即可。
设m[i,j]表示计算矩阵Ai到Aj的最少数乘次数,则有状态转移方程:
m[i,j] = min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj}, i<=k<j
其中,pi-1pkpj表示矩阵Ai到Aj的乘积所需的数乘次数。通过枚举k,可以求出m[i,j]的最小值。
同时,还需要记录计算矩阵Ai到Aj的最优次序,即在哪个位置k处分割矩阵连乘积。可以使用s[i,j]来记录,s[i,j]的值表示计算Ai到Aj的最优次序中,第一个相乘的矩阵是Ak和Ak+1之间的那个矩阵。
最终,计算出m[1,n]和s[1,n]后,就可以根据s数组来构造出最优次序了。
具体实现可以参考下面的代码: