求$x^2 + xy + y^2 = 4$,求 $\dfrac{dy}{dx}$ 在点 $(1, \sqrt{3})$ 处的值。
时间: 2023-07-28 12:08:11 浏览: 39
好的,请看以下的计算过程:
首先对 $x^2 + xy + y^2 = 4$ 两边同时对 $x$ 求导,得到:
$$2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$$
化简后得到:
$$(x+2y)\dfrac{dy}{dx} = -2x - y$$
因此,$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2x - y}{x+2y}$。
代入点 $(1, \sqrt{3})$,得到:
$$\dfrac{dy}{dx} \bigg|_{(1, \sqrt{3})} = \dfrac{-2\cdot 1 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}} = -\dfrac{2 + \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}$$
因此,在点 $(1, \sqrt{3})$ 处,$\dfrac{dy}{dx}$ 的值为 $-\dfrac{2 + \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}$。
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求dy/dx=2xy/(x^2+y^2)的通解
### 回答1:
求解dy/dx=2xy/(x^2 y^2)的通解,可以先积分两边:∫dy/dx dx = ∫2xy/(x^2 y^2) dx,再求出积分结果:y=x^2/(2y)+C,其中C为任意常数,便是该方程的通解。
### 回答2:
要求解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^2y^2}$ 的通解。
首先,我们可以将方程写成如下形式:
$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{xy}$
然后,我们可以对方程进行变量分离:
$ydy=2xdx$
接下来,我们可以对上述方程两边同时积分:
$\int ydy=\int 2xdx$
对左边进行积分得到:
$\frac{y^2}{2}+C_1$
对右边进行积分得到:
$x^2+C_2$
其中,$C_1$ 和 $C_2$ 是积分常数。
将上述两个结果相加,得到方程的通解为:
$\frac{y^2}{2}+C_1=x^2+C_2$
可以将其整理为以下形式:
$\frac{y^2}{2}-x^2=C$
其中,$C=C_2-C_1$ 也是一个常数。
因此,微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^2y^2}$ 的通解为 $\frac{y^2}{2}-x^2=C$,其中 $C$ 是一个常数。
### 回答3:
首先,该微分方程可以通过分离变量的方法求解。
将方程重新整理得到:
dy/y^2 = 2xdx/(x^2)
对等式的两边同时积分:
∫(dy/y^2) = ∫(2xdx/x^2)
对于左边的积分,我们可以利用基本积分公式 ∫(dx/x^n) = -1/(n-1) * x^(-n+1)。
∫(dy/y^2) = -1/y
对于右边的积分,我们可以将2和x分开,并将dx/x^2转化为d(1/x):
∫(2xdx/x^2) = 2∫(d(1/x)) = 2ln|x|
现在,我们可以将积分的结果代入原方程:
-1/y = 2ln|x|
将方程两边取倒数并移项得到:
y = -1/(2ln|x|)
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y = -1/(2ln|x|),其中x ≠ 0.
x^2+y^2=10,求x+y最大值
首先,我们可以将 $x+y$ 表示为 $\sqrt{(x+y)^2}$。然后,我们将 $x+y$ 用 $x$ 和 $y$ 表示出来,即 $x+y=\sqrt{(x+y)^2-4xy}$。将 $x^2+y^2=10$ 代入得到 $xy=\frac{(x+y)^2-10}{2}$。结合上述两个式子,我们可以得到:
$$x+y=\sqrt{(x+y)^2-4xy}=\sqrt{(x+y)^2-2(x+y)^2+20}=\sqrt{20-(x-y)^2}$$
由于 $x^2+y^2=10$,所以 $x^2 \leq 10$,同理 $y^2 \leq 10$。因此,$-3\sqrt{10} \leq x+y \leq 3\sqrt{10}$。又因为 $x+y$ 越大,$(x-y)^2$ 越小,所以当 $(x-y)^2=0$ 时,$x+y$ 取得最大值 $3\sqrt{10}$。此时,$x=y=\sqrt{5}$,因此 $x+y=2\sqrt{5}$。因此,$x+y$ 的最大值为 $2\sqrt{5}$。