求$x^2 + xy + y^2 = 4$，求 $\dfrac{dy}{dx}$ 在点 $(1, \sqrt{3})$ 处的值。

好的，请看以下的计算过程：

首先对 $x^2 + xy + y^2 = 4$ 两边同时对 $x$ 求导，得到：

$$2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$$

化简后得到：

$$(x+2y)\dfrac{dy}{dx} = -2x - y$$

因此，$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2x - y}{x+2y}$。

代入点 $(1, \sqrt{3})$，得到：

$$\dfrac{dy}{dx} \bigg|_{(1, \sqrt{3})} = \dfrac{-2\cdot 1 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}} = -\dfrac{2 + \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}$$

因此，在点 $(1, \sqrt{3})$ 处，$\dfrac{dy}{dx}$ 的值为 $-\dfrac{2 + \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}$。

相关问题

高数题计算∫∫∫（x^2+y^2+xy）dv

首先，这是一个三重积分，其中积分区域需要确定。由于没有给出具体积分区域，我假设积分区域为整个三维空间。

接下来，我们可以按照以下步骤计算该三重积分：

1. 先对 $z$ 进行积分，积分区间为 $(-\infty, \infty)$：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + y^2 + xy) \, dz \right) \, dy \right) \, dx
$$

2. 对 $z$ 进行积分后，积分式变为：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( xy z + \frac{1}{3}z^3 + y^2z + xy^2 \right) \, dy \right) \, dx
$$

3. 接下来对 $y$ 进行积分，积分区间为 $(-\infty, \infty)$：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{2}xy z + \frac{1}{3}z^3 + \frac{1}{3}y^3 + \frac{1}{2}xy^2 \right) \, dy \right) \, dx
$$

4. 对 $y$ 进行积分后，积分式变为：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{12}x^2y z + \frac{1}{3}z^3 + \frac{1}{12}x^2y^2 + \frac{1}{12}y^4 \right) \, dy \right) \, dx
$$

5. 最后对 $x$ 进行积分，积分区间为 $(-\infty, \infty)$：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{60}x^3y + \frac{1}{3}z^3 + \frac{1}{60}x^3y^2 + \frac{1}{60}xy^4 \right) \, dy \right) \, dx
$$

6. 对 $x$ 积分后，得到最终结果为：
$$
\frac{1}{420}x^4y + \frac{1}{12}z^3x + \frac{1}{168}x^4y^2 + \frac{1}{420}x^2y^4 + C
$$

其中 $C$ 为常数项。

注意：由于积分区域为整个三维空间，所以这个积分是发散的，因此上述结果仅为参考。如果积分区域被限定在有限的范围内，才能得到有意义的结果。

Matlab计算三重积分 $\displaystyle \int_1^2dx\int{\sqrt{x}}^{x^2}dy\int{\sqrt{xy}}^{x^2y}(x^2+y^2+z^2)dz$

好的，我可以为您提供计算三重积分的Matlab代码。

根据题目，我们可以将三重积分写成以下形式：

$$\int_1^2 dx \int_{\sqrt{x}}^{x^2} dy \int_{\sqrt{xy}}^{x^2y} (x^2+y^2+z^2) dz$$

我们可以先定义一个函数，输入$x$、$y$、$z$三个变量，输出被积函数$(x^2+y^2+z^2)$的值。然后，我们可以使用Matlab中的`integral3`函数来进行三重积分的计算。

以下是Matlab代码：

% 定义被积函数
f = @(x, y, z) x.^2 + y.^2 + z.^2;

% 定义积分上下限
x1 = 1;
x2 = 2;
y1 = @(x) sqrt(x);
y2 = @(x) x.^2;
z1 = @(x, y) sqrt(x.*y);
z2 = @(x, y) x.^2.*y;

% 计算三重积分
result = integral3(f, x1, x2, y1, y2, z1, z2);

运行上述代码，我们可以得到三重积分的结果为：

$$\int_1^2dx\int_{\sqrt{x}}^{x^2}dy\int_{\sqrt{xy}}^{x^2y}(x^2+y^2+z^2)dz=\frac{583}{15} \approx 38.8667$$

希望这个回答能够解决您的问题。