用matlab计算三重积分\int _{1}^{2}dx \int _{ \sqrt {x}}^{x^{2}}dy \int _{ \sqrt {xy}}^{x^{2}y}(x^{2}+y^{2}+z^{2})dz
时间: 2023-09-29 15:02:21 浏览: 49
好的,让我来帮你计算这个三重积分。
首先,我们根据积分区域的限制条件,将原式改写为:
$$\iiint_{V} (x^2+y^2+z^2) dzdydx$$
其中积分区域$V$为:
$$V: 1\leq x\leq 2, \sqrt{x}\leq y\leq x^2, \sqrt{xy}\leq z\leq x^2y$$
然后,我们可以按照$z$、$y$、$x$的顺序进行积分,得到:
$$\begin{aligned} \iiint_{V} (x^2+y^2+z^2) dzdydx &= \int_{1}^{2} \int_{\sqrt{x}}^{x^2} \int_{\sqrt{xy}}^{x^2y} (x^2+y^2+z^2) dzdydx \\ &= \int_{1}^{2} \int_{\sqrt{x}}^{x^2} \left[ \frac{(x^2+y^2+z^2)z}{3} \right]_{\sqrt{xy}}^{x^2y} dydx \\ &= \int_{1}^{2} \int_{\sqrt{x}}^{x^2} \frac{2x^6y^3+2x^4y^5-x^2y^3}{3} dydx \\ &= \int_{1}^{2} \left[ \frac{x^6y^4}{2} + \frac{x^4y^6}{3} - \frac{x^2y^4}{6} \right]_{\sqrt{x}}^{x^2} dx \\ &= \int_{1}^{2} \left( \frac{7}{6}x^7 - \frac{3}{2}x^3 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3}x \right) dx \\ &= \left[ \frac{7}{54}x^9 - \frac{3}{8}x^4 + \frac{1}{2}\ln{x} - \frac{1}{6}x^2 \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{793}{216} - \frac{19}{24}\ln{2} \approx 5.454 \end{aligned}$$
因此,原式的计算结果约为5.454。