辗转相除法计算最大公约数和最小公倍数

辗转相除法也叫欧几里得算法，它可以用来计算两个整数的最大公约数。

最大公约数

对于两个正整数a和b，设r是它们的除法余数，即$r=a\%b$，则有

$\gcd(a,b) = \gcd(b,r)$

这个公式的解释是：a和b的最大公约数等于b和r的最大公约数。因为除法有余数，所以可以将a和b不断递归地替换为b和r，直到r为0为止。此时，b就是原来a和b的最大公约数。

例如，假设要求242和594的最大公约数：

1. 用242去除以594，得到余数：242 = 594 × 0 + 242
2. 用594去除以242，得到余数：594 = 242 × 2 + 110
3. 用242去除以110，得到余数：242 = 110 × 2 + 22
4. 用110去除以22，得到余数：110 = 22 × 5 + 0

由于余数为0，所以22和110的最大公约数即为242和594的最大公约数，即gcd(242, 594) = 22。

最小公倍数

两个数的最小公倍数是它们的公共倍数中最小的一个。最小公倍数可以用以下公式计算：

$\text{lcm}(a,b) = \dfrac{a \times b}{\gcd(a,b)}$

例如，假设要求242和594的最小公倍数，则可以先计算它们的最大公约数为22，然后用上面的公式计算：

$\text{lcm}(242,594) = \dfrac{242 \times 594}{22} = 6498$

相关问题

c语言，输入两位数，辗转相除法计算最大公约数和最小公倍数

#include <stdio.h>

int main() {
    int a, b, r, gcd, lcm, tmp;
    printf("请输入两个数：\n");
    scanf("%d %d", &a, &b);

    // 计算最大公约数
    if (a < b) {
        tmp = a;
        a = b;
        b = tmp;
    }
    while (b != 0) {
        r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    }
    gcd = a;

    // 计算最小公倍数
    lcm = a * (b / a);

    printf("%d和%d的最大公约数是：%d\n", a, b, gcd);
    printf("%d和%d的最小公倍数是：%d\n", a, b, lcm);

    return 0;
}

C语言用辗转相除法求最大公约数和最小公倍数

最大公约数和最小公倍数可以通过辗转相除法来求解。

辗转相除法，也叫欧几里得算法，是求最大公约数的一种方法。其基本思想是：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。即，设两数为a、b（a>b），它们的最大公约数设为gcd(a,b)，根据辗转相除法，有：

gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

当a%b=0时，b即为所求的最大公约数。

最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。可以通过最大公约数来求解。设两数为a、b（a>b），它们的最小公倍数设为lcm(a,b)，则有：

lcm(a,b) = a * b / gcd(a,b)

下面是用C语言实现辗转相除法求最大公约数和最小公倍数的代码：

#include <stdio.h>

// 辗转相除法求最大公约数
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    return gcd(b, a % b);
}

// 求最小公倍数
int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

int main() {
    int a, b;
    printf("请输入两个整数：");
    scanf("%d%d", &a, &b);
    printf("它们的最大公约数为：%d\n", gcd(a, b));
    printf("它们的最小公倍数为：%d\n", lcm(a, b));
    return 0;
}