用皮卡(Picard)的逐步逼近法即迭代法(Picardinteraction method)求y'=sin( xy), y(0)= 1/2 的前三次近似解

对于一阶非齐次微分方程 y' = f(x, y)，Picard逐步逼近法即迭代法的一般形式如下：

y0(x) = c

yn(x) = c + ∫[f(t, yn-1(t))]dt

其中，c 是常数。将迭代公式代入迭代式中，可以得到：

y1(x) = c + ∫[f(t, c)]dt

y2(x) = c + ∫[f(t, c+∫[f(s, c)ds])]dt

y3(x) = c + ∫[f(t, c+∫[f(s, c+∫[f(r, c)dr])ds])]dt

...

根据题目所给的微分方程 y' = sin(xy)，可以将其转化为 y' = f(x,y) 的形式，其中 f(x,y) = sin(xy)。根据上述迭代公式，可以得到前三次近似解如下：

y0(x) = 1/2

y1(x) = 1/2 + ∫[sin(t/2)]dt = 1/2 - 2cos(x/2) + 2

y2(x) = 1/2 + ∫[sin(t(1/2 - 2cos(t/2) + 2))]dt ≈ 1/2 - 2cos(x/2) + 2 - 2/3cos(3x/2) + 4/3cos(x/2)

y3(x) = 1/2 + ∫[sin(t(1/2 - 2cos(t/2) + 2 - 2/3cos(3t/2) + 4/3cos(t/2)))]dt ≈ 1/2 - 2cos(x/2) + 2 - 2/3cos(3x/2) + 4/3cos(x/2) - 8/15cos(5x/2) + 16/15cos(3x/2)

注：在实际计算中，可以使用 MATLAB 等数值计算软件进行数值积分和求解，以得到更精确的近似解。