随机数据点求拉格朗日插值

拉格朗日插值是一种数学方法，用于估算在一个已知数据点集合上的未知函数值。当你有n个随机数据点 (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn))，并且想要找到一个函数L(x)使得在每个点上都满足f(xi)，你可以使用拉格朗日基础多项式来构造这个插值函数。

拉格朗日插值的基本思想是利用每个数据点对应的拉格朗日基 polynomial L_i(x)，其形式为:

\[ L_i(x) = \prod_{j=0, j\neq i}^{n}(x - x_j) / \prod_{j=0, j\neq i}^{n}(x_i - x_j) \]

其中，i 表示第i个数据点，n是数据点的数量。

对于给定的随机数据点 (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn))，拉格朗日插值函数 L(x) 可以表示为：

\[ L(x) = \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot L_i(x) \]

以下是 Python 中使用 `numpy` 库进行拉格朗日插值的一个简单示例：

import numpy as np

def lagrange_interpolation(points):
    x, y = zip(*points)
    n = len(x)
    return lambda x: sum(y[i] * l(x, x_data=x, y_data=y, i=i) for i in range(n))

# 示例数据点
x_data = [1, 2, 3, 4]
y_data = [2, 4, 6, 8]

# 创建插值函数
interp_func = lagrange_interpolation(zip(x_data, y_data))

# 使用插值函数估计新的 x 值的函数值
new_x = 2.5
estimated_y = interp_func(new_x)
print(f"插值后的值 at {new_x}: {estimated_y}")

# 函数计算拉格朗日基 polynomial
def l(x, x_data, y_data, i):
    denominator = 1
    for j, (xx, yy) in enumerate(zip(x_data, y_data)):
        if j != i:
            denominator *= (x - xx) / (xx - x_data[i])
    return denominator * y_data[i]