matlab拉格朗日插值抛物插值

Matlab 中可以使用 `polyfit` 函数进行拉格朗日插值和抛物插值。

首先，我们需要定义要拟合的数据点和插值点。假设我们要在区间 [0, 1] 内进行插值，我们可以生成一些随机数据点：

x = linspace(0, 1, 10); % 数据点
y = sin(pi*x); % 对应的函数值
xx = linspace(0, 1, 100); % 插值点

接下来，我们可以使用 `polyfit` 函数进行拉格朗日插值。假设我们要使用 $n$ 个数据点进行插值，那么拉格朗日插值的多项式为：

$$
P(x) = \sum_{i=1}^n y_i \prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$

在 Matlab 中，我们可以利用 `polyfit` 函数来求解这个多项式的系数。具体来说，我们可以先计算每个数据点对应的拉格朗日基函数：

n = length(x);
L = ones(n, length(xx));
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            L(i,:) = L(i,:) .* (xx - x(j)) / (x(i) - x(j));
        end
    end
end

然后，我们可以将每个基函数乘上对应的函数值，并求和得到多项式的值：

yy = sum(y .* L);

现在，我们已经得到了拉格朗日插值的结果。我们可以将数据点和插值点以及插值结果绘制出来：

plot(x, y, 'o', xx, yy);

如果我们要进行抛物插值，可以使用 `polyfit` 函数的另一种调用方式。假设我们要使用三个数据点进行抛物插值，那么抛物插值的多项式为：

$$
P(x) = a_1 x^2 + a_2 x + a_3
$$

我们可以使用 `polyfit` 函数求解这个多项式的系数：

p = polyfit(x(2:4), y(2:4), 2);
yy = polyval(p, xx);

这里我们使用了 `x(2:4)` 和 `y(2:4)` 来表示我们要使用第二个、第三个和第四个数据点进行插值。同样地，我们可以将数据点和插值点以及插值结果绘制出来：

plot(x, y, 'o', xx, yy);