采用破圈法，求一个带权连通图的最小生成树

破圈法（Kruskal算法）是一种用于求解带权连通图最小生成树的贪心算法，具体步骤如下：

1. 将图中所有边按照权值从小到大排序；
2. 依次考虑每条边，如果这条边连接的两个节点不在同一个连通块中，就将这条边加入最小生成树中，并将这两个节点合并成一个连通块；
3. 重复步骤2，直到所有的节点都在同一个连通块中或者所有的边都被考虑过。

具体实现时，可以使用并查集来维护每个节点所在的连通块，加入一条边时判断这条边所连接的两个节点是否在同一个连通块中，如果不在，就将这两个连通块合并。

上述算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。

相关问题

用 c 语言， 采用破圈法求一个带权连通图的最小生成树，并测试。

以下是使用C语言实现破圈法求解最小生成树的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAXN 100010
#define MAXM 200010

int n, m;
int p[MAXN];

struct Edge
{
    int a, b, w;
}edges[MAXM];

int cmp(const void* a, const void* b)
{
    return ((Edge*)a)->w - ((Edge*)b)->w;
}

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < m; i ++)
        scanf("%d%d%d", &edges[i].a, &edges[i].b, &edges[i].w);

    qsort(edges, m, sizeof(Edge), cmp);

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        p[i] = i;

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) printf("impossible\n");
    else printf("%d\n", res);

    return 0;
}

在上述代码中，我们同样使用结构体`Edge`来表示图中的边，其包含起点、终点和权值。首先，我们读入图的节点数和边数，然后读入每条边的信息，并按照权值从小到大排序。接着，我们初始化每个节点的祖先为它本身，遍历每条边，如果该边连接的两个节点不在同一个连通块中，就将这条边加入最小生成树中，并将这两个节点合并成一个连通块。最后，如果最小生成树的边数小于n-1，则说明无法构成一颗生成树，输出"impossible"；否则输出最小生成树的总权值。

用破圈法求一个带权连通图的最小生成树

破圈法，也称为Prim算法或Prim-Jarník算法，是一种用于计算带权无向图中最小生成树的贪心算法。最小生成树是一个图中的边集合，这些边连接了所有顶点，使得连接的权重之和最小，同时保持图的连通性。

以下是Prim算法的基本步骤：

1. 选择一个起始顶点（通常是任意一个顶点），并将其加入最小生成树中。
2. 初始化一个集合S，只包含起点，初始时S是空的。
3. 对于图中的每一个未被加入S的顶点v，计算从S中任一顶点u到v的边（u-v）的权重，并找到这条边中权重最小的那条。如果这条边的终点v还没有被加入S，则将v添加到S中，并更新这条边作为S到v的最短路径。
4. 重复步骤3，直到S包含了所有顶点。此时S就是最小生成树。

值得注意的是，Prim算法可以扩展到带权重的边，但假设每条边都是非负的，因为负权边可能会导致算法产生错误的结果。当图中存在负权环（即存在一个顶点可以经过一系列边回到起点，且总权重为负）时，算法无法保证正确性。